• प्राचीन और आधुनिक अध्ययनों के बीच एक संघर्ष के दिनों में; यहाँ तक कि उस अध्ययन के लिए ज़रूर कुछ कहने के लिए है जो पाइथागोरस से नहीं शुरू हुआ और एइन्श्टाइन तक नहीं समाप्त होगा; बल्कि यह सबसे पुराना और सबसे नया है। - जी.एच. हार्डी

1.1 परिचय

समुच्चय की अवधारणा आज की गणित का एक मौलिक भाग है। आज इस अवधारणा का लगभग हर गणित की शाखा में उपयोग किया जा रहा है। संबंधों और फलनों की अवधारणाओं को परिभाषित करने के लिए समुच्चयों का उपयोग किया जाता है। ज्यामिति, अनुक्रमों, प्रायिकता आदि का अध्ययन समुच्चयों के ज्ञान की आवश्यकता करता है।

जॉर्ज कैंटर (1845-1918 ईस्वी)

समुच्चय के सिद्धांत को जर्मन गणितज्ञ जॉर्ज कैंटर (1845-1918) ने विकसित किया था। उन्होंने समुच्चयों का प्राथमिक साक्ष्य ध्रुवीय अनुक्रमों पर “समस्याओं पर काम करते समय” प्राप्त किया। इस अध्याय में, हम समुच्चयों से संबंधित कुछ मौलिक परिभाषाओं और ऑपरेशनों पर चर्चा करते हैं।

1.2 समुच्चय और उनका प्रतिनिधित्व

हर दिन की जीवन में, हम एक विशेष प्रकार के वस्तुओं की संग्रह के बारे में बात करते हैं, जैसे, कार्ड का पैक, लोगों का एक भीड़, क्रिकेट टीम आदि। गणित में भी, हम संग्रहों का सामना करते हैं, उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं, बिंदुओं, अभाज्य संख्याओं आदि के संग्रह का। खासकर, हम निम्नलिखित संग्रहों का अध्ययन करते हैं:

(i) 10 से कम अविभाज्य प्राकृतिक संख्याएँ, अर्थात् 1, 3, 5, 7, 9

(ii) भारत के नदियाँ

(iii) अंग्रेजी वर्णमाला में स्वर, अर्थात् $a, e, i, o, u$

(iv) विभिन्न प्रकार के त्रिभुज

(v) 210 के अभाज्य गुणनखंड, अर्थात् 2, 3, 5 और 7

(vi) समीकरण के समाधान: $x^{2}-5 x+6=0$, अर्थात् 2 और 3।

हम देख सकते हैं कि उपरोक्त प्रत्येक उदाहरण एक स्पष्ट रूप से परिभाषित वस्तुओं के संग्रह है जिसके अर्थात् हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि दिया गया विशेष वस्तु दिये गये संग्रह में आती है या नहीं। उदाहरण के लिए, हम कह सकते हैं कि नील नदी भारत के नदियों के संग्रह में नहीं आती। दूसरी ओर, गंगा नदी इस संग्रह में आती है।

हम नीचे गणित में विशेष रूप से उपयोग किए जाने वाले समुच्चयों के कुछ और उदाहरण देते हैं, अर्थात्:

$\mathbf{N}$: सभी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय

$\mathbf{Z}$: सभी पूर्णांकों का समुच्चय

$\mathbf{Q}$: सभी पंक्तियाँ का समुच्चय

$\mathbf{R}$: वास्तविक संख्याओं का समुच्चय

$\mathbf{Z^{+}} $: धनात्मक पूर्णांकों का समुच्चय

$\mathbf{Q^{+}} $: धनात्मक पंक्तियों का समुच्चय, और

$\mathbf{R^{+}} $: धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय।

उपरोक्त दिए गए विशेष समुच्चयों के प्रतीक इस पाठ के दौरान उपयोग किए जाएंगे।

फिर भी, दुनिया के पाँच सबसे प्रसिद्ध गणितज्ञों के संग्रह को स्पष्ट रूप से परिभाषित नहीं किया जा सकता, क्योंकि सबसे प्रसिद्ध गणितज्ञ के रूप में निर्धारण का मानदंड व्यक्ति से व्यक्ति में भिन्न हो सकता है। इस प्रकार, यह एक स्पष्ट रूप से परिभाषित संग्रह नहीं है।

हम कहेंगे कि समुच्चय एक स्पष्ट रूप से परिभाषित वस्तुओं का एक संग्रह है।

निम्नलिखित बिंदुओं को ध्यान में रखा जाए:

(i) समुच्चय की वस्तुओं, तत्वों और सदस्यों के अर्थ समानार्थी हैं।

(ii) समुच्चयों को आमतौर पर अपन्नाएं ए, बी, सी, एक्स, वाई, जेड आदि से दर्शाया जाता है।

(iii) समुच्चय के तत्वों को छोटे अक्षरों द्वारा $a, b, c, x, y, z$ आदि से दर्शाया जाता है।

$a$ यदि समुच्चय ए का एक तत्व है, तो हम कहते हैं कि “$a$ ए में आता है”। अंग्रेजी शब्द ‘आता है’ को दर्शाने के लिए ग्रीक प्रतीक $\in$ (एप्सिलॉन) का उपयोग किया जाता है। इस प्रकार, हम $a \in A$ लिखते हैं। $b$ $A$ समुच्चय का तत्व नहीं है, तो हम $b \notin A$ लिखते हैं और “$b$ ए में नहीं आता” पढ़ते हैं।

इस प्रकार, अंग्रेजी वर्णमाला में स्वरों के समुच्चय $V$ में, $a \in V$ है लेकिन $b \notin V$ नहीं। $P$ के $30,3 \in P$ के अभाज्य गुणनखंडों के समुच्चय में $15 \notin P$ है लेकिन $\{2,4,6\}$ नहीं।

एक समुच्चय को प्रतिनिधित्व करने के दो तरीके हैं:

(i) रोस्टर या तालिका रूप

(ii) सेट-बिल्डर रूप।

(i) रोस्टर रूप में, समुच्चय के सभी तत्वों को सूचीबद्ध किया जाता है, तत्वों को अल्पविराम से अलग किया जाता है और उन्हें ब्रेस { } के अंदर घिरा जाता है। उदाहरण के लिए, 7 से कम सभी सम धनात्मक पूर्णांकों के समुच्चय को रोस्टर रूप में $\{1,2,3,6,7,14,21,42\}$ के रूप में वर्णित किया जाता है। समुच्चय को रोस्टर रूप में प्रतिनिधित्व करने के कुछ और उदाहरण नीचे दिए गए हैं:

(a) 42 को विभाजित करने वाली सभी प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय $\{1,3,7,21,2,6,14,42\}$ है।

नोट - रोस्टर रूप में, तत्वों को सूचीबद्ध करने के लिए उनकी क्रमिकता महत्वपूर्ण नहीं है। इस प्रकार, उपरोक्त समुच्चय को $\{a, e, i, o, u\}$ के रूप में भी प्रतिनिधित्व किया जा सकता है।

(b) अंग्रेजी वर्णमाला में सभी स्वरों के समुच्चय $\{1,3,5, \ldots\}$ है।

(c) अविभाज्य प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय को $\{S, C, H, O, L\}$ के रूप में प्रतिनिधित्व किया जाता है। दूसरे बिंदु हमें यह बताते हैं कि अविभाज्य संख्याओं की सूची अनंत रूप से जारी रहती है।

नोट - लिखते समय रोस्टर रूप में एक समुच्चय के तत्व को आमतौर पर दोहराया नहीं जाता, अर्थात् सभी तत्वों को अलग-अलग माना जाता है। उदाहरण के लिए, ‘SCHOOL’ शब्द के अक्षरों के समुच्चय $\{H, O, L, C, S\}$ या $\{a, e, i, o, u\}$ है। यहाँ, तत्वों को सूचीबद्ध करने के क्रम में कोई प्रासंगिकता नहीं है।

(ii) सेट-बिल्डर रूप में, समुच्चय के सभी तत्वों के पास एक ही सामान्य गुणधर्म होता है जिसे समुच्चय के बाहर कोई भी तत्व प्राप्त नहीं करता। उदाहरण के लिए, समुच्चय $V$ में, सभी तत्वों के पास एक सामान्य गुणधर्म है, अर्थात् उनमें से प्रत्येक का अंग्रेजी वर्णमाला में एक स्वर है, और कोई भी अन्य अक्षर इस गुणधर्म को प्राप्त नहीं करता। इस समुच्चय को $V=\{x: x$ के रूप में दर्शाते हुए, हम लिखते हैं

$\}$ अंग्रेजी वर्णमाला में एक स्वर $x$

यह देखा जा सकता है कि हम $y, z$ (अन्य कोई भी प्रतीक जैसे $V$, आदि का उपयोग किया जा सकता है) का उपयोग करके समुच्चय के तत्वों को वर्णित करते हैं जो कोलन " : " के बाद आता है। कोलन के चिह्न के बाद, हम समुच्चय के तत्वों द्वारा प्राप्त विशिष्ट गुणधर्म लिखते हैं और फिर पूरे वर्णन को ब्रेस के अंदर घिराते हैं। $x$ के उपरोक्त वर्णन को पढ़ा जाता है “सभी $x$ के समुच्चय जिनमें $A=\{x: x$ अंग्रेजी वर्णमाला का एक स्वर है”। इस वर्णन में, ब्रेस का अर्थ “सभी के समुच्चय” है, कोलन का अर्थ “ऐसे” है। उदाहरण के लिए, समुच्चय

$3<x<10\}$ एक प्राकृतिक संख्या $x$ अंग्रेजी वर्णमाला में एक स्वर $x$ पढ़ा जाता है “सभी $x$ के समुच्चय जिनमें $A$ एक प्राकृतिक संख्या $(a),(b)$ है और $(c)$ 3 और 10 के बीच है।” इस प्रकार, संख्याएँ 4, 5, 6, 7, 8 और 9 समुच्चय $A, B$ के तत्व हैं।

$C$ और $A, B, C$ में उपरोक्त रोस्टर रूप में वर्णित समुच्चयों को $A=\{x: x$, $\}$ के रूप में दर्शाते हुए, $B=\{y: y$ को भी निम्नानुसार सेट-बिल्डर रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है:

$\}$ एक प्राकृतिक संख्या $C=\{z: z$ है जो 42 को विभाजित करती है $\}$

$x^{2}+x-2=0$ अंग्रेजी वर्णमाला में एक स्वर $\{1,-2\}$ है

$\{x: x$ एक अविभाज्य प्राकृतिक संख्या $x^{2}<40\}$ है $1,2,3,4,5,6$

उदाहरण 1 समीकरण $\{1,2,3,4,5,6\}$ के समाधान समुच्चय को रोस्टर रूप में लिखें।

समाधान दिया गया समीकरण को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है

$$ (x-1)(x+2)=0 \text {, i. e., } x=1,-2 $$

इस प्रकार, दिये गये समीकरण के समाधान समुच्चय को रोस्टर रूप में $A=\{1,4,9,16,25, \ldots\}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

उदाहरण 2 समुच्चय $\{\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \frac{6}{7}\}$ को रोस्टर रूप में लिखें जहाँ $x+1=1$ धनात्मक पूर्णांक $x=0$ है और $x^{2}-9=0$ $x=3,-3$ $A=\{x: x$ $\}$ $B$ $B = \{x: x$ $\}$ $\phi$ $A=\{x: 1<x<2, x$ $\}$ $B=\{x: x^{2}-2=0$ $x$ $\}$ $B$ $x^{2}-2=0$ $x$ $C =$ $\{x: x$ $\}$ $C$ $D=\{x: x^{2}=4, x.$ $\}$ $D$ $x^{2}=4$ $x$ $\quad A=\{1,2,3,4,5\}, \quad B=\{a, b, c, d, e, g\}$ $\quad C=\{$ $\}$ $C$ $C$ $S$ $n$ $n$ $S$ $n(A)=5, n(B)=6$ $n(C)=$ $W$ $W$ $S$ $x^{2}-16=0$ $S$ $G$ $G$ $\{1,2,3 \ldots\}$ $\{1,3,5,7, \ldots\}$ $\{ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots\}$ $\{x: x \in N$ $(x-1)(x-2)=0\}$ $\{x: x \in N.$ $.x^{2}=4\}$ $\{x: x \in N$ $2 x-1=0\}$ $\quad\{x: x \in N$ $x$ $\}$ $\{x: x \in N$ $x$ $\}$ $=\{1,2\}$ $=\{2\}$ $=\phi$ $A=B$ $A \neq B$ $A=\{1,2,3,4\}$ $B=\{3,1,4,2\}$ $A=B$ $A$ $P$ $A=\{1,2,3\}$ $B=\{2,2,1,3,3\}$ $0 \in A$ $0$ $B, C, D$ $E$ $A \neq B, A \neq C, A \neq D, A \neq E$ $B=\phi$ $B \neq C, B \neq D$ $B \neq E$ $C=\{5\}$ $-5 \in D$ $C \neq D$ $E=\{5\}, C=E$ $D=\{-5,5\}$ $E=\{5\}$ $D \neq E$ $C$ $E$ $A=\{n: n \in Z.$ $.n^{2} \leq 4\}$ $B=\{x: x \in R.$ $.x^{2}-3 x+2=0\}$ $X=\{A, L, L, O, Y\}, B=\{L, O, Y, A, L\}$ $X$ $B$ $A=\{-2,-1,0,1,2\}, B=\{1,2\}$ $0 \in A$ $0 \notin B, A$ $B$ $X=$ $Y=$ $Y$ $X$ $Y$ $X$ $Y$ $X$ $Y \subset X$ $\subset$ $A$ $A$ $B$ $A$ $A \subset B$ $a \in A$ $a \in B$ $\Rightarrow$ $A$ ⟦20