गणित सभी विज्ञानों की रानी और सेविका दोनों है - ई.टी. बेल

11.1 परिचय

आपको याद होगा कि एक समतल में किसी बिंदु की स्थिति ज्ञात करने के लिए, हमें समतल में दो परस्पर लंबवत प्रतिच्छेदी रेखाओं की आवश्यकता होती है। इन रेखाओं को निर्देशांक अक्ष कहा जाता है और दो संख्याओं को अक्षों के सापेक्ष बिंदु के निर्देशांक कहा जाता है। वास्तविक जीवन में, हमें केवल एक समतल में स्थित बिंदुओं से ही नहीं, बल्कि अंतरिक्ष में स्थित बिंदुओं से भी निपटना पड़ता है। उदाहरण के लिए, अंतरिक्ष में फेंकी गई एक गेंद की विभिन्न समय बिंदुओं पर स्थिति या एक हवाई जहाज की उड़ान के दौरान विभिन्न समयों पर एक स्थान से दूसरे स्थान तक उड़ान भरते समय उसकी स्थिति पर विचार करें।

इसी प्रकार, यदि हमें किसी कमरे की छत से लटकते हुए एक बिजली के बल्ब के सबसे निचले सिरे की स्थिति या कमरे में छत के पंखे के केंद्रीय सिरे की स्थिति ज्ञात करनी हो, तो हमें न केवल कमरे की दो लंबवत दीवारों से उस बिंदु की लंबवत दूरियों की आवश्यकता होगी, बल्कि कमरे के फर्श से उस बिंदु की ऊँचाई की भी आवश्यकता होगी। इसलिए, हमें केवल दो नहीं, बल्कि तीन संख्याओं की आवश्यकता होती है जो तीन परस्पर लंबवत समतलों, अर्थात् कमरे के फर्श और कमरे की दो आसन्न दीवारों से बिंदु की लंबवत दूरियों को निरूपित करती हैं। तीन दूरियों को निरूपित करने वाली तीन संख्याओं को तीन निर्देशांक समतलों के सन्दर्भ में बिंदु के निर्देशांक कहा जाता है। अतः, अंतरिक्ष में एक बिंदु के तीन निर्देशांक होते हैं। इस अध्याय में, हम त्रिविमीय अंतरिक्ष में ज्यामिति की मूल अवधारणाओं का अध्ययन करेंगे।*

11.2 त्रिविमीय अंतरिक्ष में निर्देशांक अक्ष और निर्देशांक समतल

तीन समतलों पर विचार करें जो एक बिंदु $O$ पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि ये तीनों समतल परस्पर लंबवत हैं (चित्र 11.1)। ये तीन समतल रेखाओं $X^{\prime} OX, Y^{\prime} OY$ और $Z^{\prime} OZ$ के साथ प्रतिच्छेद करते हैं, जिन्हें क्रमशः $x, y$ और $z$-अक्ष कहा जाता है। हम ध्यान दे सकते हैं कि ये रेखाएँ परस्पर लंबवत हैं। ये रेखाएँ आयताकार निर्देशांक प्रणाली का निर्माण करती हैं। समतल XOY, YOZ और ZOX, जिन्हें क्रमशः XY-समतल, YZ-समतल और ZX-समतल कहा जाता है, तीन निर्देशांक समतल के रूप में जाने जाते हैं। हम XOY समतल को कागज के समतल के रूप में और

चित्र 11.1 रेखा $Z^{\prime} OZ$ को समतल $XOY$ के लंबवत के रूप में लेते हैं। यदि कागज का समतल क्षैतिज माना जाता है, तो रेखा $Z^{\prime} OZ$ ऊर्ध्वाधर होगी। XY-समतल से $OZ$ की दिशा में ऊपर की ओर मापी गई दूरियाँ धनात्मक ली जाती हैं और $OZ^{\prime}$ की दिशा में नीचे की ओर मापी गई दूरियाँ ऋणात्मक ली जाती हैं। इसी प्रकार, $ZX$-समतल के दायीं ओर $OY$ के साथ मापी गई दूरी धनात्मक ली जाती है, ZX-समतल के बायीं ओर और $O Y^{\prime}$ के साथ ऋणात्मक ली जाती है, YZ-समतल के सामने $O X$ के साथ धनात्मक ली जाती है और उसके पीछे $OX^{\prime}$ के साथ ऋणात्मक ली जाती है। बिंदु $O$ को निर्देशांक प्रणाली का मूलबिंदु कहा जाता है। तीन निर्देशांक समतल अंतरिक्ष को आठ भागों में विभाजित करते हैं जिन्हें अष्टांश कहा जाता है। इन अष्टांशों को $XOYZ, X^{\prime} OYZ, X^{\prime} OY Y, XOY ’ Z, XOYZ$, $X^{\prime} OYZ, X^{\prime} OY^{\prime} Z^{\prime}$ और $XOY^{\prime} Z^{\prime}$ के रूप में नामित किया जा सकता है और क्रमशः I, II, III, …, VIII द्वारा निरूपित किया जा सकता है।

11.3 अंतरिक्ष में एक बिंदु के निर्देशांक

अंतरिक्ष में एक निश्चित निर्देशांक प्रणाली, जिसमें निर्देशांक अक्ष, निर्देशांक समतल और मूलबिंदु शामिल हैं, चुनने के बाद, अब हम यह समझाते हैं कि किसी दिए गए बिंदु के साथ हम तीन निर्देशांक $(x, y, z)$ कैसे संबद्ध करते हैं और इसके विपरीत, तीन संख्याओं $(x, y, z)$ के एक त्रिक को देखते हुए, हम अंतरिक्ष में एक बिंदु कैसे स्थित करते हैं।

चित्र 11.2

अंतरिक्ष में एक बिंदु $P$ दिया गया है, हम XY-समतल पर एक $\mathbf{X}$ लंब PM डालते हैं जिसका पाद M है (चित्र 11.2)। फिर, बिंदु M से, हम $x$-अक्ष पर एक लंब ML खींचते हैं, जो उसे L पर मिलता है। माना OL, $x, LM$ है, $y$ है और MP, $z$ है। तब $x, y$ और $z$ को क्रमशः बिंदु $P$ के $x, y$ और $z$ निर्देशांक कहा जाता है। चित्र 11.2 में, हम ध्यान दे सकते हैं कि बिंदु $P(x, y, z)$ अष्टांश XOYZ में स्थित है और इसलिए सभी $x, y$, $z$ धनात्मक हैं। यदि $P$ किसी अन्य अष्टांश में होता, तो $x, y$ और $z$ के चिह्न तदनुसार बदल जाते। इस प्रकार, अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु $P$ के संगत वास्तविक संख्याओं का एक क्रमित त्रिक $(x, y, z)$ होता है।

इसके विपरीत, कोई त्रिक $(x, y, z)$ दिया गया है, हम पहले $x$-अक्ष पर बिंदु $L$ को $x$ के संगत स्थिर करेंगे, फिर XY-समतल में बिंदु $M$ को इस प्रकार स्थित करेंगे कि $(x, y)$, XY-समतल में बिंदु M के निर्देशांक हैं। ध्यान दें कि LM, $x$-अक्ष के लंबवत है या $y$-अक्ष के समांतर है। बिंदु M पर पहुँचने के बाद, हम XY-समतल पर एक लंब MP खींचते हैं और उस पर बिंदु $P$ को $z$ के संगत स्थित करते हैं। इस प्रकार प्राप्त बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y, z)$ हैं। इस प्रकार, अंतरिक्ष में बिंदुओं और वास्तविक संख्याओं के क्रमित त्रिक $(x, y, z)$ के बीच एक-एक संगति होती है।

वैकल्पिक रूप से, अंतरिक्ष में बिंदु $P$ से होकर, हम तीन समतल निर्देशांक समतलों के समांतर खींचते हैं, जो $x$-अक्ष, $y$-अक्ष और $z$-अक्ष को क्रमशः बिंदुओं $A, B$ और $C$ में मिलते हैं (चित्र 11.3)। माना $OA=x, OB=y$ और $OC=z$। तब, बिंदु $P$ के निर्देशांक $x, y$ और $z$ होंगे और हम $P(x, y, z)$ लिखते हैं। इसके विपरीत, $x, y$ और $z$ दिए गए हैं, हम तीन निर्देशांक अक्षों पर तीन बिंदु $A, B$ और $C$ को स्थित करते हैं। बिंदुओं $A, B$ और $C$ से होकर हम क्रमशः YZ-समतल, ZX-समतल और XY-समतल के समांतर समतल खींचते हैं,

चित्र 11.3

इन तीन समतलों, अर्थात् ADPF, BDPE और CEPF का प्रतिच्छेदन बिंदु स्पष्टतः बिंदु $P$ है, जो क्रमित त्रिक $(x, y, z)$ के संगत है। हम देखते हैं कि यदि $P(x, y, z)$ अंतरिक्ष में कोई बिंदु है, तो $x, y$ और $z$ क्रमशः YZ, ZX और XY समतलों से लंबवत दूरियाँ हैं।

नोट - मूलबिंदु $O$ के निर्देशांक $(0,0,0)$ हैं। $x$-अक्ष पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक $(x, 0,0)$ के रूप में होंगे और YZ-समतल में किसी भी बिंदु के निर्देशांक $(0, y, z)$ के रूप में होंगे।

टिप्पणी किसी बिंदु के निर्देशांकों के चिह्न यह निर्धारित करते हैं कि वह बिंदु किस अष्टांश में स्थित है। निम्नलिखित सारणी आठ अष्टांशों में निर्देशांकों के चिह्न दर्शाती है।

सारणी 11.1

उदाहरण 1 चित्र 11.3 में, यदि $P$, $(2,4,5)$ है, तो $F$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हल बिंदु $F$ के लिए, OY के अनुदिश मापी गई दूरी शून्य है। अतः, $F$ के निर्देशांक $(2,0,5)$ हैं।

उदाहरण 2 उन अष्टांशों को ज्ञात कीजिए जिनमें बिंदु $(-3,1,2)$ और $(-3,1,-2)$ स्थित हैं।

हल सारणी 11.1 से, बिंदु $(-3,1,2)$ द्वितीय अष्टांश में स्थित है और बिंदु $(-3,1,-2)$ अष्टांश VI में स्थित है।

11.4 दो बिंदुओं के बीच की दूरी

हमने द्विविमीय निर्देशांक प्रणाली में दो बिंदुओं के बीच की दूरी का अध्ययन किया है। आइए अब इस अध्ययन को त्रिविमीय प्रणाली तक विस्तारित करें।

माना $P(x_1, y_1, z_1)$ और $Q(x_2, y_2, z_2)$ दो बिंदु हैं जो आयताकार अक्षों $OX, OY$ और $OZ$ की एक प्रणाली के सापेक्ष हैं। बिंदुओं $P$ और $Q$ से होकर निर्देशांक समतलों के समांतर समतल खींचिए ताकि एक विकर्ण PQ (चित्र 11.4) वाला एक आयताकार समान्तर षट्फलक बने।

चित्र 11.4

अब, चूँकि $\angle PAQ$ एक समकोण $\quad \mathbf{X}$ है, अतः त्रिभुज PAQ में,

$ PQ^{2}=PA^{2}+AQ^{2} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ldots(1) $

साथ ही, त्रिभुज ANQ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle ANQ$ एक समकोण है।

अतः $\quad\quad\quad AQ^{2}=AN^{2}+NQ^{2} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ldots(2)$

(1) और (2) से, हमारे पास है

$$ \mathrm{PQ}^{2}=\mathrm{PA}^{2}+\mathrm{AN}^{2}+\mathrm{NQ}^{2} $$

अब $\quad\quad\quad\mathrm{PA}=y _{2}-y _{1}, \mathrm{AN}=x _{2}-x _{1}$ और $\mathrm{NQ}=z _{2}-z _{1}$

अतः $\quad\quad\quad\mathrm{PQ}^{2}=\left(x _{2}-x _{1}\right)^{2}+\left(y _{2}-y _{1}\right)^{2}+\left(z _{2}-z _{1}\right)^{2}$

इसलिए $\quad\quad\quad PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}}$

यह हमें दो बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ के बीच की दूरी देता है।

विशेष रूप से, यदि $x_1=y_1=z_1=0$, अर्थात् बिंदु $P$ मूलबिंदु $O$ है, तो $OQ=\sqrt{x_2{ }^{2}+y_2{ }^{2}+z_2{ }^{2}}$, जो मूलबिंदु $O$ और किसी बिंदु $Q(x_2, y_2, z_2)$ के बीच की दूरी देता है।

उदाहरण 3 बिंदुओं $P(1,-3,4)$ और $Q(-4,1,2)$ के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल बिंदुओं $P(1,-3,4)$ और $Q(-4,1,2)$ के बीच की दूरी PQ है

$ \begin{aligned} PQ & =\sqrt{(-4-1)^{2}+(1+3)^{2}+(2-4)^{2}} \\ & =\sqrt{25+16+4} \\ & =\sqrt{45}=3 \sqrt{5} \text{ मात्रक } \end{aligned} $

उदाहरण 4 दर्शाइए कि बिंदु $P(-2,3,5)$, $Q(1,2,3)$ और $R(7,0,-1)$ संरेख हैं।

हल हम जानते हैं कि बिंदु संरेख कहलाते हैं यदि वे एक रेखा पर स्थित हों।

अब,

$ \begin{aligned} & P Q=\sqrt{(1+2)^{2}+(2-3)^{2}+(3-5)^{2}}=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14} \\ & Q R=\sqrt{(7-1)^{2}+(0-2)^{2}+(-1-3)^{2}}=\sqrt{36+4+16}=\sqrt{56}=2 \sqrt{14} \end{aligned} $

और

$ P R=\sqrt{(7+2)^{2}+(0-3)^{2}+(-1-5)^{2}}=\sqrt{81+9+36}=\sqrt{126}=3 \sqrt{14} $

इस प्रकार, $PQ+QR=PR$। अतः, $P, Q$ और $R$ संरेख हैं।

उदाहरण 5 क्या बिंदु A $(3,6,9), B(10,20,30)$ और C $(25,-41,5)$, एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं?

हल दूरी सूत्र द्वारा, हमारे पास है

$ \begin{aligned} AB^{2} & =(10-3)^{2}+(20-6)^{2}+(30-9)^{2} \\ & =49+196+441=686 \\ BC^{2} & =(25-10)^{2}+(-41-20)^{2}+(5-30)^{2} \\ & =225+3721+625=4571 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} CA^{2} & =(3-25)^{2}+(6+41)^{2}+(9-5)^{2} \\ & =484+2209+16=2709 \end{aligned} $

हम पाते हैं कि $\quad \quad\quad CA^{2}+AB^{2} \neq BC^{2}$।

अतः, त्रिभुज $ABC$ एक समकोण त्रिभुज नहीं है।

उदाहरण 6 बिंदुओं $P$ के समुच्चय का समीकरण ज्ञात कीजिए जबकि $PA^{2}+PB^{2}=2 k^{2}$, जहाँ $A$ और $B$ क्रमशः बिंदु $(3,4,5)$ और $(-1,3,-7)$ हैं।

हल माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y, z)$ हैं।

यहाँ

$ \begin{aligned} & PA^{2}=(x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z-5)^{2} \\ & PB^{2}=(x+1)^{2}+(y-3)^{2}+(z+7)^{2} \end{aligned} $

दी गई शर्त $PA^{2}+PB^{2}=2 k^{2}$ के अनुसार, हमारे पास है

$ (x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z-5)^{2}+(x+1)^{2}+(y-3)^{2}+(z+7)^{2}=2 k^{2} \\ \text{ अर्थात् } \quad 2 x^{2}+2 y^{2}+2 z^{2}-4 x-14 y+4 z=2 k^{2}-109 . $

विविध उदाहरण

उदाहरण 7 दर्शाइए कि बिंदु A $(1,2,3)$, B (-1, -2, -1), C (2, 3, 2) और $D(4,7,6)$ एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के शीर्ष हैं, लेकिन यह एक आयत नहीं है।

हल दर्शाने के लिए कि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, हमें यह दर्शाना होगा कि सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं। ध्यान दें कि

$ \begin{aligned} & AB=\sqrt{(-1-1)^{2}+(-2-2)^{2}+(-1-3)^{2}}=\sqrt{4+16+16}=6 \\ & BC=\sqrt{(2+1)^{2}+(3+2)^{2}+(2+1)^{2}}=\sqrt{9+25+9}=\sqrt{43} \\ & CD=\sqrt{(4-2)^{2}+(7-3)^{2}+(6-2)^{2}}=\sqrt{4+16+16}=6 \\ & DA=\sqrt{(1-4)^{2}+(2-7)^{2}+(3-6)^{2}}=\sqrt{9+25+9}=\sqrt{43} \end{aligned} $

चूँकि $A B=C D$ और $B C=A D, A B C D$ एक समांतर चतुर्भुज है।

अब, यह सिद्ध करना आवश्यक है कि $ABCD$ एक आयत नहीं है। इसके लिए, हम दर्शाते हैं कि विकर्ण $AC$ और $BD$ असमान हैं। हमारे पास है

$ \begin{aligned} & AC=\sqrt{(2-1)^{2}+(3-2)^{2}+(2-3)^{2}}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3} \\ & BD \quad=\sqrt{(4+1)^{2}+(7+2)^{2}+(6+1)^{2}}=\sqrt{25+81+49}=\sqrt{155} . \end{aligned} $

चूँकि $A C \neq B D, A B C D$ एक आयत नहीं है।

नोट - हम यह भी दर्शा सकते हैं कि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है, इस गुण का उपयोग करके कि विकर्ण $AC$ और $BD$ परस्पर समद्विभाजित करते हैं।

उदाहरण 8 बिंदुओं $P$ के समुच्चय का समीकरण ज्ञात कीजिए जबकि इसकी बिंदुओं $A(3,4,-5)$ और $B(-2,1,4)$ से दूरियाँ बराबर हैं।

हल यदि $P(x, y, z)$ कोई बिंदु है जबकि $PA=PB$।

अब $\sqrt{(x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z+5)^{2}} = \sqrt{(x+2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-4)^{2}}$

या $\quad\quad (x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z+5)^{2}=(x+2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-4)^{2}$

या $\quad \quad 10 x+6 y-18 z-29=0$।

उदाहरण 9 एक त्रिभुज $ABC$ का केन्द्रक बिंदु $(1,1,1)$ पर है। यदि $A$ और $B$ के निर्देशांक क्रमशः $(3,-5,7)$ और $(-1,7,-6)$ हैं, तो बिंदु $C$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हल माना $C$ के निर्देशांक $(x, y, z)$ हैं और केन्द्रक $G$ के निर्देशांक $(1,1,1)$ हैं। तब

अतः $\quad \frac{x+3-1}{3}=1$, या $x=1$ $ \begin{array}{ll} \frac{y-5+7}{3}=1, & \text { या } y=1 \\ \frac{z+7-6}{3}=1, & \text { या } z=2 . \end{array} $

अतः, $C$ के निर्देशांक $(1,1,2)$ हैं।

सारांश

त्रिविमों में, एक आयताकार कार्तीय निर्देशांक प्रणाली के निर्देशांक अक्ष तीन परस्पर लंबवत रेखाएँ होती हैं। अक्षों को $x$, $y$ और $z$-अक्ष कहा जाता है।

अक्षों के जोड़े द्वारा निर्धारित तीन समतल निर्देशांक समतल होते हैं, जिन्हें XY, YZ और ZX-समतल कहा जाता है।

तीन निर्देशांक समतल अंतरिक्ष को आठ भागों में विभाजित करते हैं जिन्हें अष्टांश कहा जाता है। त्रिविमीय ज्यामिति में एक बिंदु $P$ के निर्देशांक सदैव $(x, y, z)$ के रूप में एक त्रिक के रूप में लिखे जाते हैं। यहाँ $x, y$ और $z$ YZ, ZX और XY-समतलों से दूरियाँ हैं।

(i) $x$-अक्ष पर कोई भी बिंदु $(x, 0,0)$ के रूप का होता है

(ii) $y$-अक्ष पर कोई भी बिंदु $(0, y, 0)$ के रूप का होता है

(iii) $z$-अक्ष पर कोई भी बिंदु $(0,0, z)$ के रूप का होता है।

दो बिंदुओं $P(x_1, y_1, z_1)$ और $Q(x_2, y_2, z_2)$ के बीच की दूरी निम्न द्वारा दी जाती है

$$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}} $$

ऐतिहासिक पृष्ठभूमि

रेने डेकार्ट (1596-1650), विश्लेषणात्मक ज्यामिति के जनक, ने मूलतः 1637 में केवल समतल ज्यामिति से ही संबंध रखा। यही बात उनके सह-आविष्कारक पियरे फर्मा (1601-1665) और ला हायर (1640-1718) के लिए भी सत्य है। हालाँकि त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति के सुझाव उनके कार्यों में मिलते हैं लेकिन कोई विवरण नहीं है। डेकार्ट के पास तीन विमाओं में निर्देशांकों का विचार था लेकिन उन्होंने इसे विकसित नहीं किया। जे. बर्नौली (1667-1748) ने 1715 में लाइबनिज को लिखे एक पत्र में तीन निर्देशांक समतलों का परिचय दिया जिनका हम आज उपयोग करते हैं। एंटोनी पैरेंट (1666-1716) थे, जिन्होंने पहली बार 1700 में फ्रेंच अकादमी में प्रस्तुत एक शोध पत्र में विश्लेषणात्मक ठोस ज्यामिति का व्यवस्थित विकास दिया।

एल. यूलर (1707-1783) ने त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति को व्यवस्थित रूप से 1748 में अपनी “ज्यामिति का परिचय” के दूसरे खंड के परिशिष्ट के अध्याय 5 में लिया।

उन्नीसवीं शताब्दी के मध्य तक ज्यामिति को तीन से अधिक विमाओं तक विस्तारित नहीं किया गया था, जिसका सुप्रसिद्ध अनुप्रयोग आइंस्टीन के सापेक्षता के सिद्धांत के अंतरिक्ष-समय संसूत्र में है।