भौतिक अनुसंधान के सभी क्षेत्रों में गणित का उपयोग अत्यंत आवश्यक उपकरण है। - बर्थेलो

2.1 परिचय

गणित का बहुत बड़ा हिस्सा तथ्यों में एक शैली या एक पहचाने जाने वाला संबंध ढूंढने से बना है - जो बदलते हुए तथ्यों के बीच एक संबंध है। हमारे दैनिक जीवन में, हम बहुत सारी शैलियाँ देखते हैं जो भाई-बहन, पिता-पुत्र, शिक्षक-छात्र जैसे संबंधों को वर्णित करती हैं। गणित में भी, हम बहुत सारे संबंध देखते हैं जैसे संख्या $m$ संख्या $n$ से कम है, रेखा $l$ रेखा $m$ के समानांतर है, समुच्चय $A$ समुच्चय $B$ का उपसमुच्चय है। इन सभी में, हम देख सकते हैं कि एक संबंध के लिए एक विशिष्ट क्रम में दो वस्तुओं के जोड़ की आवश्यकता होती है। इस अध्याय में, हम सीखेंगे कि दो समुच्चयों के बीच वस्तुओं के जोड़ों को कैसे जोड़ा जाए और फिर उन जोड़ों के दो वस्तुओं के बीच संबंधों को कैसे परिभाषित किया जाए। अंततः, हम विशेष संबंधों के बारे में सीखेंगे जो फलन के रूप में परिचित होंगे।

जी.डब्ल्यू. लाइब्निज (1646-1716 ई.पू.)

फलन की अवधारणा गणित में बहुत अहमियत रखती है क्योंकि यह एक गणितीय रूप से सटीक संबंध को प्रतिबिंबित करती है जो एक तथ्य के दूसरे तथ्य से जुड़ा होता है।

2.2 समुच्चयों का कार्टीजियन उत्पाद

मान लीजिए कि A दो रंगों के समुच्चय है और B तीन वस्तुओं के समुच्चय है, अर्थात,

$$ A=\{\text { red, blue }\} \text { and } B=\{b, c, s\} \text {, } $$

जहाँ $b, c$ और $s$ किसी विशेष बैग, कॉट और शर्ट का प्रतिनिधित्व करते हैं।

इन दो समुच्चयों से कितने रंगीन वस्तुओं के जोड़ बनाए जा सकते हैं?

बहुत व्यवस्थित तरीके से आगे बढ़ते हुए, हम देख सकते हैं कि इसमें 6 विभिन्न जोड़ जैसे नीचे दिए गए होंगे:

(लाल, $b$), (लाल, $c$), (लाल, $s$), (नीला, $b$), (नीला, $c$), (नीला, $s$)।

इस प्रकार, हम 6 विभिन्न वस्तुएँ प्राप्त करते हैं (आकृति 2.1)।

आकृति 2.1

चलिए, हम अपनी पिछली कक्षाओं से याद करते हैं कि किसी भी दो समुच्चयों $P$ और $Q$ से लिए गए तत्वों के एक आर्डर्ड जोड़े को छोटे कोष्ठकों में लिखा जाता है और एक विशिष्ट क्रम में एक साथ जोड़ा जाता है, अर्थात, $(p, q), p \in P$ और $q \in Q$। इससे निम्नलिखित परिभाषा प्राप्त होती है:

परिभाषा 1 दो गैर-रिक्त समुच्चय $P$ और $Q$ दिए गए हों। कार्टीजियन उत्पाद $P \times Q$ को उन सभी आर्डर्ड जोड़ों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है जिनके तत्व $P$ और $Q$ से लिए गए हों, अर्थात,

$$ P \times Q=\{(p, q): p \in P, q \in Q\} $$

यदि $P$ या $Q$ रिक्त समुच्चय है, तो $P \times Q$ भी रिक्त समुच्चय होगा, अर्थात, $P \times Q=\phi$

उपरोक्त उदाहरण से हम नोट कर सकते हैं कि

$A \times B=\{(red, b),($ लाल, $c),($ लाल, $s),($ नीला, $b),($ नीला, $c),($ नीला, $s)\}$।

फिर एक बार दो समुच्चयों पर विचार करें:

$A=\{DL, MP, KA\}$, जहाँ DL, MP, KA को दिल्ली, मध्य प्रदेश और कर्नाटक का प्रतिनिधित्व करते हैं, और B $=\{01,02, 03 \}$ दिल्ली, मध्य प्रदेश और कर्नाटक द्वारा जारी किए गए वाहनों के लाइसेंस प्लेट के लिए कोड का प्रतिनिधित्व करता है।

यदि दिल्ली, मध्य प्रदेश और कर्नाटक अपने वाहनों के लाइसेंस प्लेट के लिए कोड बना रहे थे, जिनमें सीमा शुल्क के लिए समुच्चय $A$ से एक तत्व के साथ शुरुआत होनी थी, तो इन समुच्चयों से कौन-कौन से जोड़ उपलब्ध हैं और इस प्रकार के कितने जोड़ होंगे (आकृति 2.2)?

आकृति 2.2

उपलब्ध जोड़ हैं: $(\mathrm{DL}, 01),(\mathrm{DL}, 02),(\mathrm{DL}, 03),(\mathrm{MP}, 01),(\mathrm{MP}, 02)$, $(\mathrm{MP}, 03),(\mathrm{KA}, 01),(\mathrm{KA}, 02),(\mathrm{KA}, 03)$ और समुच्चय $A$ और समुच्चय $B$ का उत्पाद $\mathrm{A} \times \mathrm{B}=\{(\mathrm{DL}, 01),(\mathrm{DL}, 02),(\mathrm{DL}, 03),(\mathrm{MP}, 01),(\mathrm{MP}, 02),(\mathrm{MP}, 03),(\mathrm{KA}, 01),(\mathrm{KA}, 02)$, $(\mathrm{KA}, 03)\} \text {. }$ के रूप में दिया जाता है।

आसानी से दिख सकता है कि कार्टीजियन उत्पाद में 9 ऐसे जोड़ होंगे, क्योंकि समुच्चय A और B में प्रत्येक में 3 तत्व हैं। इससे हमें 9 संभावित कोड मिलते हैं। इसके अतिरिक्त ध्यान रहे कि इन तत्वों को कैसे जोड़ा जाता है इसका क्रम महत्वपूर्ण है। उदाहरण के लिए, कोड (DL, 01) कोड $(01, DL)$ के समान नहीं होगा।

अंतिम उदाहरण के रूप में, दो समुच्चयों $A=\{a_1, a_2\}$ और $B=\{b_1, b_2, b_3, b_4\}$ पर विचार करें (आकृति 2.3)।

$A \times B=\{(a_1, b_1),(a_1, b_2),(a_1, b_3),(a_1, b_4),(a_2, b_1),(a_2, b_2),(a_2, b_3),(a_2, b_4)\} .$

इस प्रकार बने 8 आर्डर्ड जोड़े यदि A और B वास्तविक संख्या के समुच्चय के उपसमुच्चय हैं, तो ये चित्र में बिंदुओं की स्थिति का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं और यह स्पष्ट है कि स्थिति $(a_1, b_2)$ में बिंदु स्थिति $(b_2, a_1)$ में बिंदु से भिन्न होगा।

आकृति 2.3

टिप्पणियाँ

(i) दो आर्डर्ड जोड़े बराबर होते हैं, अगर और तो ही बराबर हों और दूसरे तत्व भी बराबर हों।

(ii) यदि $p$ तत्व $A$ में हैं और $q$ तत्व $B$ में हैं, तो $p q$ तत्व $A \times B$ में होंगे, अर्थात, यदि $n(A)=p$ और $n(B)=q$, तो $n(A \times B)=p q$।

(iii) यदि $A$ और $B$ गैर-रिक्त समुच्चय हैं और $A$ या $B$ एक अनंत समुच्चय है, तो $A \times B$ भी अनंत समुच्चय है।

(iv) $A \times A \times A=\{(a, b, c): a, b, c \in A\}$। यहाँ $(a, b, c)$ को एक आर्डर्ड ट्रिपल कहा जाता है।

उदाहरण 1 यदि $(x+1, y-2)=(3,1)$, तो $x$ और $y$ के मान ज्ञात कीजिए।

हल चूंकि आर्डर्ड जोड़े बराबर हैं, इसलिए संबंधित तत्व भी बराबर हैं।

इसलिए

$ x+1=3 \text { और } y-2=1 \text {। } $

हल करने पर हमें $\quad x=2$ और $y=3$ मिलते हैं।

उदाहरण 2 यदि $P=\{a, b, c\}$ और $Q=\{r\}$, तो समुच्चय $P \times Q$ और $Q \times P$ बनाइए।

क्या ये दोनों उत्पाद बराबर हैं?

हल कार्टीजियन उत्पाद की परिभाषा के अनुसार,

$$ P \times Q=\{(a, r),(b, r),(c, r)\} \text { and } Q \times P=\{(r, a),(r, b),(r, c)\} $$

चूंकि, आर्डर्ड जोड़ों के बराबरी की परिभाषा के अनुसार, जोड़ $(a, r)$ जोड़ $(r, a)$ के बराबर नहीं है, इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $P \times Q \neq Q \times P$।

हालाँकि, प्रत्येक समुच्चय में एक समान संख्या के तत्व होंगे।

उदाहरण 3 चलिए $A=\{1,2,3\}, B=\{3,4\}$ और $C=\{4,5,6\}$ लेते हैं। ज्ञात कीजिए

(i) $A \times(B \cap C)$

(ii) $(A \times B) \cap(A \times C)$

(iii) $A \times(B \cup C)$

(iv) $(A \times B) \cup(A \times C)$

हल (i) दो समुच्चयों के प्रलय की परिभाषा के अनुसार, $(B \cap C)=\{4\}$।

इसलिए, $A \times(B \cap C)=\{(1,4),(2,4),(3,4)\}$।

(ii) अब $(A \times B)=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4)\}$ और $(A \times C)=\{(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6)\}$

इसलिए, $(A \times B) \cap(A \times C)=\{(1,4),(2,4),(3,4)\}$।

(iii) चूंकि, $\quad(B \cup C)=\{3,4,5,6\}$,

हमारे पास है $\quad \mathrm{A} \times(\mathrm{B} \cup \mathrm{C})=\{(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,3)$, $(3,4),(3,5),(3,6)\}$।

(iv) उपरोक्त (ii) भाग से दिए गए समुच्चयों $A \times B$ और $A \times C$ का उपयोग करके, हम $(A \times B) \cup(A \times C)=\{(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)$, $(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)\}$ प्राप्त करते हैं।

उदाहरण 4 यदि $P=\{1,2\}$, तो समुच्चय $P \times P \times P$ बनाइए।

हल हमारे पास है, $ P \times P \times P=\{(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,1,2),(2,2,1)$, $(2,2,2)\} $।

उदाहरण 5 यदि $\mathbf{R}$ सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय है, तो कार्टीजियन उत्पाद $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$ और $\mathbf{R} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}$ का क्या प्रतिनिधित्व करता है?

हल कार्टीजियन उत्पाद $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$ समुच्चय $\mathbf{R} \times \mathbf{R}=\{(x, y): x, y \in \mathbf{R}\}$ का प्रतिनिधित्व करता है जो द्वि-आयामी अंतरिक्ष में सभी बिंदुओं के निर्देशांकों का प्रतिनिधित्व करता है और कार्टीजियन उत्पाद $\mathbf{R} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}$ समुच्चय $\mathbf{R} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}=\{(x, y, z): x, y, z \in \mathbf{R}\}$ का प्रतिनिधित्व करता है जो त्रि-आयामी अंतरिक्ष में सभी बिंदुओं के निर्देशांकों का प्रतिनिधित्व करता है।

उदाहरण 6 यदि $A \times B=\{(p, q),(p, r),(m, q),(m, r)\}$, तो $A$ और $B$ ज्ञात कीजिए।

हल

$$ \begin{aligned} & A=\text { set of first elements }=\{p, m\} \\ & B=\text { set of second elements }=\{q, r\} . \end{aligned} $$

2.1 संबंध

दो समुच्चयों $P=\{a, b, c\}$ और $Q=\{$ पर विचार करें Ali, Bhanu, Binoy, Chandra, Divya $\}$।

$P$ और $Q$ के कार्टीजियन उत्पाद में 15 आर्डर्ड जोड़े हैं जिन्हें $P \times Q=\{(a, \text{Ali})$, (a, Bhanu), (a, Binoy), …, (c, Divya) $\}$ के रूप में सूचीबद्ध किया जा सकता है।

आकृति 2.4

अब हम एक संबंध $R$ के माध्यम से $P \times Q$ के एक उपसमुच्चय प्राप्त कर सकते हैं जो प्रत्येक आर्डर्ड जोड़े $(x, y)$ के पहले तत्व $x$ और दूसरे तत्व $y$ के बीच संबंध पर आधारित है जैसे

$R=\{(x, y): x$ नाम $y, x \in P, y \in Q\}$ के पहले अक्षर है।

फिर $R=\{(a, Ali),(b, Bhanu),(b, Binoy),(c$, चंद्रा $)\}$

इस संबंध $R$ का एक दृश्य प्रतिनिधित्व (एक तीर आकृति कहलाता है) आकृति 2.4 में दिखाया गया है।

परिभाषा 2 गैर-रिक्त समुच्चय $A$ से गैर-रिक्त समुच्चय $B$ तक एक संबंध $R$ को कार्टीजियन उत्पाद $A \times B$ के एक उपसमुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह उपसमुच्चय उन आर्डर्ड जोड़ों के बीच एक संबंध का वर्णन करके $A \times B$ प्राप्त होता है। दूसरा तत्व को पहले तत्व के प्रतिबिंब कहा जाता है।

परिभाषा 3 एक समुच्चय A से एक समुच्चय $B$ तक एक संबंध $R$ के आर्डर्ड जोड़ों के सभी पहले तत्वों के समुच्चय को उस संबंध $R$ का डोमेन कहा जाता है।

परिभाषा 4 समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ तक एक संबंध $R$ के आर्डर्ड जोड़ों के सभी दूसरे तत्वों के समुच्चय को उस संबंध $R$ का रेंज कहा जाता है। सम्पूर्ण समुच्चय $B$ को उस संबंध $R$ का कोडोमेन कहा जाता है। ध्यान दें कि रेंज $\subset$ कोडोमेन से अलग है।

टिप्पणियाँ (i) एक संबंध बायोलॉजिकल रूप से या तो रूसर विधि या सेट-बिल्डर विधि के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है।

(ii) एक तीर आकृति एक संबंध का एक दृश्य प्रतिनिधित्व है।

उदाहरण 7 $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ लें। समुच्चय $A$ से समुच्चय $A$ तक एक संबंध $R$ परिभाषित करें जैसे