एक गणितज्ञ एक समस्या को हल करने में सक्षम है, पर वह उसे हल नहीं कर पाता। - मिलन

3.1 परिचय

शब्द ‘त्रिकोणमिति’ ग्रीक शब्दों ‘त्रिगोन’ और ‘मेट्रोन’ से लिया गया है और इसका अर्थ ‘त्रिभुज की ओर का मापन’ है। इस विषय को मूल रूप से त्रिभुजों में ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए विकसित किया गया था। यह नेविगेशन के लिए समुद्र कपटों, नई भूभागों को नक्शा बनाने के लिए सर्वेक्षकों, इंजीनियरों और अन्य लोगों द्वारा अध्ययन किया गया था। वर्तमान में, त्रिकोणमिति भूकंप विज्ञान की वैज्ञानिक अवधारणा, विद्युत परिपथों की डिज़ाइन, परमाणु की स्थिति का वर्णन, समुद्र में ज्वार की ऊंचाई की भविष्यवाणी, संगीत ध्वनि का विश्लेषण और कई अन्य क्षेत्रों में उपयोग किया जाता है।

आर्यभट्ट (476-550 ईसा पूर्व)

पिछले कक्षाओं में, हमने एक आर्धचन्द्र त्रिभुज की ओर के उत्तम कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों को त्रिभुज की ओरों के अनुपात के रूप में अध्ययन किया है। हमने त्रिकोणमितीय समीकरणों और ऊंचाई और दूरी से संबंधित समस्याओं को हल करने के लिए त्रिकोणमितीय अनुपातों के अनुप्रयोगों का भी अध्ययन किया है। इस अध्याय में, हम त्रिकोणमितीय अनुपातों के इस संकल्पना को त्रिकोणमितीय फलनों में व्यापक रूप से विस्तारित करेंगे और उनके गुणों का अध्ययन करेंगे।

3.2 कोण

आरेख 3.1

कोण एक दिए गए किरण को उसकी आरंभिक बिंदु के चारों ओर घूर्णन के माप है। मूल किरण को आरंभिक शाखा कहते हैं और घूर्णन के बाद किरण की अंतिम स्थिति को कोण की अंतिम शाखा कहते हैं। घूर्णन का बिंदु को शीर्ष कहते हैं। अगर घूर्णन की दिशा उल्टी दिशा में है, तो कोण को धनात्मक कहा जाता है और अगर घूर्णन की दिशा दक्षिणावर्त है, तो कोण को नकारात्मक कहा जाता है (आरेख 3.1)।

कोण का माप आरंभिक शाखा से अंतिम शाखा प्राप्त करने के लिए किए गए घूर्णन की मात्रा है। कोणों को मापने के लिए कई इकाइयाँ हैं। कोण की परिभाषा

आरेख 3.2

आरेख 3.2 में एक इकाई दी गई है, अर्थात् आरंभिक शाखा की स्थिति से एक पूर्ण घूर्णन की इकाई है जैसा कि आरेख 3.2 में दर्शाया गया है।

यह बड़े कोणों के लिए अक्सर उपयोगी है। उदाहरण के लिए, हम कह सकते हैं कि एक तेजी से घूर्णन करने वाला पहिया प्रति सेकंड कुछ 15 घूर्णन कर रहा है। हम कोण के मापन के लिए दो अन्य सबसे अधिक उपयोगी इकाइयाँ वर्णित करेंगे, अर्थात् डिग्री माप और रेडियन माप।

3.2.1 डिग्री माप

अगर आरंभिक शाखा से अंतिम शाखा की ओर एक घूर्णन को एक पूर्ण घूर्णन का $(\frac{1}{360})^{\text{th }}$ है, तो कोण को एक डिग्री का माप कहा जाता है, जिसे $1^{\circ}$ के रूप में लिखा जाता है। एक डिग्री को 60 मिनट में विभक्त किया जाता है और एक मिनट को 60 सेकंड में विभक्त किया जाता है। एक डिग्री का एक छठावाँ हिस्सा को मिनट कहा जाता है, जिसे $1^{\prime}$ के रूप में लिखा जाता है, और एक मिनट का एक छठावाँ हिस्सा को सेकंड कहा जाता है, जिसे $1^{\prime \prime}$ के रूप में लिखा जाता है। इस प्रकार, $\quad 1^{\circ}=60^{\prime}, \quad 1^{\prime}=60^{\prime \prime}$

कुछ कोणों के माप $360^{\circ}, 180^{\circ}, 270^{\circ}, 420^{\circ},-30^{\circ},-420^{\circ}$ हैं जो आरेख 3.3 में दर्शाए गए हैं।

आरेख 3.3

3.2.2 रेडियन माप

कोण के मापन के लिए एक अन्य इकाई है, जिसे रेडियन माप कहते हैं। एक इकाई वृत्त (जिसकी त्रिज्या 1 इकाई है) में एक इकाई लंबाई के अर्क द्वारा केंद्र पर आकार किया गया कोण को 1 रेडियन का माप कहा जाता है। आरेख 3.4(i) से (iv) में, $OA$ आरंभिक शाखा है और $OB$ अंतिम शाखा है। आरेखों में 1 रेडियन, -1 रेडियन, $1 \frac{1}{2}$ रेडियन और $-1 \frac{1}{2}$ रेडियन के माप के कोण दिखाए गए हैं।

आरेख 3.4 (i) - (iv)

हम जानते हैं कि त्रिज्या 1 इकाई वृत्त की परिधि $2 \pi$ है। इस प्रकार, आरंभिक शाखा का एक पूर्ण घूर्णन को केंद्र पर $2 \pi$ रेडियन का कोण आकार करता है।

अधिक सामान्य रूप से, त्रिज्या $r$ वाले वृत्त में, $r$ लंबाई का अर्क को केंद्र पर 1 रेडियन का कोण आकार करेगा। एक वृत्त के समान अर्कों के बीच एक दूसरे को केंद्र पर एक ही कोण आकार करते हैं यह बहुत प्रसिद्ध है। चूंकि त्रिज्या $r$ वाले वृत्त में, $r$ लंबाई का अर्क 1 रेडियन के माप का कोण आकार करता है, इसलिए $l$ लंबाई का अर्क $\frac{l}{r}$ रेडियन के माप का कोण आकार करेगा। इस प्रकार, अगर त्रिज्या $r$ वाले वृत्त में, $l$ लंबाई का अर्क केंद्र पर $\theta$ रेडियन का कोण आकार करता है, तो हमारे पास $\theta=\frac{l}{r}$ या $l=r \theta$ होगा।

3.2.3 रेडियन और वास्तविक संख्याओं के बीच संबंध

इकाई वृत्त को ध्यान में रखते हुए जिसका केंद्र $O$ है। $A$ वृत्त पर कोई भी बिंदु लें। कोण की आरंभिक शाखा के रूप में OA लें। फिर वृत्त के अर्क की लंबाई वृत्त के केंद्र पर अर्क द्वारा आकार किया गया कोण का रेडियन माप देगी। वृत्त के A पर स्पर्श रेखा PAQ को ध्यान में रखें। बिंदु A को वास्तविक संख्या शून्य का प्रतिनिधित्व करें, AP सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करेगा और AQ नकारात्मक वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करेगा (आरेख 3.5)। अगर हम वृत्त के चारों ओर $AP$ को उल्टी दिशा में रोपें और $AQ$ को दक्षिणावर्त दिशा में, तो हर वास्तविक संख्या को एक रेडियन माप से संबंधित किया जाएगा और विपरीत भी। इस प्रकार, रेडियन माप और वास्तविक संख्याएँ एक और एक ही माने जा सकते हैं।

आरेख 3.5

3.2.4 डिग्री और रेडियन के बीच संबंध

चूंकि एक वृत्त के केंद्र पर एक कोण का रेडियन माप $2 \pi$ है और उसका डिग्री माप $360^{\circ}$ है, इसलिए निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि 2 \pi \text{ रेडियन }=360^{\circ} \quad \text{ या } \quad \pi \text{ रेडियन }=180^{\circ} $

उपरोक्त संबंध हमें रेडियन माप को डिग्री माप के अनुपात में व्यक्त करने और डिग्री माप को रेडियन माप के अनुपात में व्यक्त करने में सक्षम बनाता है। $\pi$ के अनुमानित मान का उपयोग करते हुए $\frac{22}{7}$, हमारे पास है

$ 1 \text{ रेडियन }=\frac{180^{\circ}}{\pi}=57^{\circ} 16^{\prime} \text{ लगभग. } $

यहाँ $\quad 1^{\circ}=\frac{\pi}{180}$ रेडियन $=0.01746$ रेडियन लगभग है।

कुछ सामान्य कोणों के डिग्री माप और रेडियन माप के बीच संबंध निम्नलिखित तालिका में दिए गए हैं:

संकेतन परंपरा

चूंकि कोणों को या तो डिग्री में या रेडियन में मापा जाता है, इसलिए हम एक परंपरा को अपनाते हैं कि जब भी हम कोण $\theta^{\circ}$ लिखते हैं, तो हमारे अर्थ में उस कोण होता है जिसका डिग्री माप $\theta$ है और जब भी हम कोण $\beta$ लिखते हैं, तो हमारे अर्थ में उस कोण होता है जिसका रेडियन माप $\beta$ है।

ध्यान रखें कि जब कोण को रेडियन में व्यक्त किया जाता है, तो ‘रेडियन’ शब्द अक्सर छोड़ दिया जाता है। इस प्रकार, $\pi=180^{\circ}$ और $\frac{\pi}{4}=45^{\circ}$ को $\pi$ और $\frac{\pi}{4}$ रेडियन माप के रूप में लिखा जाता है। इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि

$ \begin{aligned} & \text{ रेडियन माप }=\frac{\pi}{180} \times \text{ डिग्री माप } \\ & \text{ डिग्री माप }=\frac{180}{\pi} \times \text{ रेडियन माप } \end{aligned} $

उदाहरण 1 $40^{\circ} 20^{\prime}$ को रेडियन माप में बदलें।

समाधान हम जानते हैं कि $180^{\circ}=\pi$ रेडियन है।

इसलिए $\quad 40^{\circ} 20^{\prime}=40 \frac{1}{3}$ डिग्री $=\frac{\pi}{180} \times \frac{121}{3}$ रेडियन $=\frac{121 \pi}{540}$ रेडियन है।

इस प्रकार,

$ 40^{\circ} 20^{\prime}=\frac{121 \pi}{540} \text{ रेडियन. } $

उदाहरण 2 6 रेडियन को डिग्री माप में बदलें।

समाधान हम जानते हैं कि $\pi$ रेडियन $=180^{\circ}$ है।

इसलिए

$ \begin{aligned} 6 \text{ रेडियन } & =\frac{180}{\pi} \times 6 \text{ डिग्री }=\frac{1080 \times 7}{22} \text{ डिग्री } \\ & =343 \frac{7}{11} \text{ डिग्री }=343^{\circ}+\frac{7 \times 60}{11} \text{ मिनट } \quad[\text{ क्योंकि } 1^{\circ}=60^{\prime}] \\ & =343^{\circ}+38^{\prime}+\frac{2}{11} \text{ मिनट } \quad[\text{ क्योंकि } 1^{\prime}=60^{\prime \prime}] \\ & =343^{\circ}+38^{\prime}+10.9^{\prime \prime} \quad=343^{\circ} 38^{\prime} 11^{\prime \prime} \text{ लगभग. } \end{aligned} $

इस प्रकार $\quad 6$ रेडियन $=343^{\circ} 38^{\prime} 11^{\prime \prime}$ लगभग है।

उदाहरण 3 $60^{\circ}$ के केंद्र कोण के आवर्ती अर्क की लंबाई $37.4 cm$ है ($\pi=\frac{22}{7}$ का उपयोग करें)। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करें।

समाधान यहाँ $l=37.4 cm$ और $\theta=60^{\circ}=\frac{60 \pi}{180}$ रेडियन $=\frac{\pi}{3}$

इस प्रकार, $\quad$ द्वारा $r=\frac{l}{\theta}$, हमारे पास है

$ r=\frac{37.4 \times 3}{\pi}=\frac{37.4 \times 3 \times 7}{22}=35.7 cm $

उदाहरण 4 घड़ी की मिनट हाथ की लंबाई $1.5 cm$ है। 40 मिनट में इसकी धुरी कितनी दूरी तय करती है? ($\pi=3.14$ का उपयोग करें)।

समाधान 60 मिनट में, घड़ी का मिनट हाथ एक पूर्ण घूर्णन पूरा करता है। इस प्रकार, 40 मिनट में, मिनट हाथ एक घूर्णन का $\frac{2}{3}$ घूर्णन करता है। इस प्रकार, $\theta=\frac{2}{3} \times 360^{\circ}$ या $\frac{4 \pi}{3}$ रेडियन है। इस प्रकार, आवश्यक दूरी इस प्रकार दी गई है

$ l=r \theta=1.5 \times \frac{4 \pi}{3} cm=2 \pi cm=2 \times 3.14 cm=6.28 cm . $

उदाहरण 5 अगर दो वृत्तों में समान लंबाई के अर्क के केंद्र पर $65^{\circ}$ और ⟦94