गणित विज्ञानों की रानी है और अंकगणित गणित की रानी है। - गॉस

4.1 भूमिका

पिछली कक्षाओं में, हमने एक और दो चरों में रैखिक समीकरणों और एक चर में द्विघात समीकरणों का अध्ययन किया है। हमने देखा है कि समीकरण $x^{2}+1=0$ का कोई वास्तविक हल नहीं है क्योंकि $x^{2}+1=0$, $x^{2}=-1$ देता है और प्रत्येक वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणेतर होता है। इसलिए, हमें वास्तविक संख्या प्रणाली को एक बड़ी प्रणाली में विस्तारित करने की आवश्यकता है ताकि हम समीकरण $x^{2}=-1$ का हल ज्ञात कर सकें। वास्तव में, मुख्य उद्देश्य समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ को हल करना है, जहाँ $D=b^{2}-4 a c<0$, जो वास्तविक संख्याओं की प्रणाली में संभव नहीं है।

डब्ल्यू. आर. हैमिल्टन (1805-1865 ई.)

4.2 सम्मिश्र संख्याएँ

आइए हम $\sqrt{-1}$ को प्रतीक $i$ से निरूपित करें। तब, हमारे पास $i^{2}=-1$ है। इसका अर्थ है कि $i$ समीकरण $x^{2}+1=0$ का एक हल है।

$a+i b$ के रूप की एक संख्या, जहाँ $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएँ हैं, को एक सम्मिश्र संख्या परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए, $2+i 3,(-1)+i \sqrt{3}, 4+i(\frac{-1}{11})$ सम्मिश्र संख्याएँ हैं।

सम्मिश्र संख्या $z=a+i b, a$ के लिए, $Re z$ को वास्तविक भाग कहा जाता है, जिसे $b$ द्वारा निरूपित किया जाता है और $Im z$ को काल्पनिक भाग कहा जाता है, जिसे $z$ द्वारा निरूपित किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि $z=2+i 5$, तो $Re z=2$ और $Im z=5$।

दो सम्मिश्र संख्याएँ $z_1=a+i b$ और $z_2=c+i d$ बराबर होती हैं यदि $a=c$ और $b=d$।

उदाहरण 1 यदि $4 x+i(3 x-y)=3+i(-6)$, जहाँ $x$ और $y$ वास्तविक संख्याएँ हैं, तो $x$ और $y$ के मान ज्ञात कीजिए।

हल हमारे पास है

$$ 4 x+i(3 x-y)=3+i(-6) \tag{i} $$

(1) के वास्तविक और काल्पनिक भागों को बराबर करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ 4 x=3,3 x-y=-6, $$

जिसे एक साथ हल करने पर, $x=\frac{3}{4}$ और $y=\frac{33}{4}$ प्राप्त होते हैं।

4.3 सम्मिश्र संख्याओं का बीजगणित

इस अनुभाग में, हम सम्मिश्र संख्याओं का बीजगणित विकसित करेंगे।

4.3.1 दो सम्मिश्र संख्याओं का योग

मान लीजिए $z_1=a+i b$ और $z_2=c+i d$ कोई दो सम्मिश्र संख्याएँ हैं। तब, योग $z_1+z_2$ को निम्न प्रकार परिभाषित किया जाता है:

$z_1+z_2=(a+c)+i(b+d)$, जो पुनः एक सम्मिश्र संख्या है।

उदाहरण के लिए, $(2+i 3)+(-6+i 5)=(2-6)+i(3+5)=-4+i 8$

सम्मिश्र संख्याओं के योग निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करते हैं:

(i) संवरक नियम दो सम्मिश्र संख्याओं का योग एक सम्मिश्र संख्या होती है, अर्थात्, सभी सम्मिश्र संख्याओं $z_1$ और $z_2$ के लिए $z_1+z_2$ एक सम्मिश्र संख्या है।

(ii) क्रमविनिमेय नियम किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं $z_1$ और $z_2$ के लिए, $z_1+z_2=z_2+z_1$

(iii) साहचर्य नियम किन्हीं तीन सम्मिश्र संख्याओं $z_1, z_2, z_3$ के लिए, $(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$।

(iv) योज्य तत्समक का अस्तित्व सम्मिश्र संख्या $0+i 0$ (जिसे 0 से निरूपित किया जाता है), जिसे योज्य तत्समक या शून्य सम्मिश्र संख्या कहा जाता है, का अस्तित्व इस प्रकार है कि प्रत्येक सम्मिश्र संख्या $z, z+0=z$ के लिए।

(v) योज्य प्रतिलोम का अस्तित्व प्रत्येक सम्मिश्र संख्या $z=a+i b$ के लिए, हमारे पास सम्मिश्र संख्या $-a+i(-b)$ (जिसे $-z$ से निरूपित किया जाता है) होती है, जिसे $z$ का योज्य प्रतिलोम या ऋणात्मक कहा जाता है। हम देखते हैं कि $z+(-z)=0$ (योज्य तत्समक)।

4.3.2 दो सम्मिश्र संख्याओं का अंतर

किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं $z_1$ और $z_2$ को देखते हुए, अंतर $z_1-z_2$ को निम्न प्रकार परिभाषित किया जाता है:

उदाहरण के लिए,

$ z_1-z_2=z_1+(-z_2) . $

और

$ \begin{aligned} & (6+3 i)-(2-i)=(6+3 i)+(-2+i)=4+4 i \\ & \quad(2-i)-(6+3 i)=(2-i)+(-6-3 i)=-4-4 i \end{aligned} $

4.3.3 दो सम्मिश्र संख्याओं का गुणन

मान लीजिए $z_1=a+i b$ और $z_2=c+i d$ कोई दो सम्मिश्र संख्याएँ हैं। तब, गुणनफल $z_1 z_2$ को निम्न प्रकार परिभाषित किया जाता है:

$$ z_1 z_2=(a c-b d)+i(a d+b c) $$

उदाहरण के लिए, $(3+i 5)(2+i 6)=(3 \times 2-5 \times 6)+i(3 \times 6+5 \times 2)=-24+i 28$

सम्मिश्र संख्याओं के गुणन में निम्नलिखित गुण होते हैं, जिन्हें हम बिना उपपत्ति के बता रहे हैं।

(i) संवरक नियम दो सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल एक सम्मिश्र संख्या होता है, सभी सम्मिश्र संख्याओं $z_1$ और $z_2$ के लिए गुणनफल $z_1 z_2$ एक सम्मिश्र संख्या है।

(ii) क्रमविनिमेय नियम किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं $z_1$ और $z_2$ के लिए,

$$ z_1 z_2=z_2 z_1 $$

(iii) साहचर्य नियम किन्हीं तीन सम्मिश्र संख्याओं $z_1, z_2, z_3$ के लिए,

$$ (z_1 z_2) z_3=z_1(z_2 z_3) \text{. } $$

(iv) गुणनात्मक तत्समक का अस्तित्व सम्मिश्र संख्या $1+i 0$ (जिसे 1 से निरूपित किया जाता है), जिसे गुणनात्मक तत्समक कहा जाता है, का अस्तित्व इस प्रकार है कि प्रत्येक सम्मिश्र संख्या $z$ के लिए $z .1=z$।

(v) गुणनात्मक प्रतिलोम का अस्तित्व प्रत्येक अशून्य सम्मिश्र संख्या $z=a+i b$ या $a+b i(a \neq 0, b \neq 0)$ के लिए, हमारे पास सम्मिश्र संख्या $\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}(.$ होती है, जिसे $\frac{1}{z}$ या $.z^{-1})$ से निरूपित किया जाता है, जिसे $z$ का गुणनात्मक प्रतिलोम कहा जाता है, जिससे कि

$z \cdot \frac{1}{z}=1$ (गुणनात्मक तत्समक)।

(vi) वितरण नियम किन्हीं तीन सम्मिश्र संख्याओं $z_1, z_2, z_3$ के लिए,

(a) $z_1(z_2+z_3)=z_1 z_2+z_1 z_3$

(b) $(z_1+z_2) z_3=z_1 z_3+z_2 z_3$

4.3.4 दो सम्मिश्र संख्याओं का विभाजन

किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं $z_1$ और $z_2$ को देखते हुए, जहाँ $z_2 \neq 0$, भागफल $\frac{z_1}{z_2}$ को निम्न प्रकार परिभाषित किया जाता है:

$ \frac{z_1}{z_2}=z_1 \frac{1}{z_2} $

उदाहरण के लिए, मान लीजिए $\quad z_1=6+3 i$ और $z_2=2-i$

तब

$ \frac{z_1}{z_2}=((6+3 i) \times \frac{1}{2-i})=(6+3 i)(\frac{2}{2^{2}+(-1)^{2}}+i \frac{-(-1)}{2^{2}+(-1)^{2}}) $

$ =(6+3 i)(\frac{2+i}{5})=\frac{1}{5}[12-3+i(6+6)]=\frac{1}{5}(9+12 i) $

4.3.5 $i$ की घात

हम जानते हैं कि

$ \begin{bmatrix} i^{3}=i^{2} i=(-1) i=-i, & i^{4}=(i^{2})^{2}=(-1)^{2}=1 \\ i^{5}=(i^{2})^{2} i=(-1)^{2} i=i, & i^{6}=(i^{2})^{3}=(-1)^{3}=-1, \text{ etc. } \end{bmatrix} $

साथ ही, हमारे पास $\quad i^{-1}=\frac{1}{i} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{-1}=-i, \quad i^{-2}=\frac{1}{i^{2}}=\frac{1}{-1}=-1$ है,

$$ i^{-3}=\frac{1}{i^{3}}=\frac{1}{-i} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{1}=i, \quad i^{-4}=\frac{1}{i^{4}}=\frac{1}{1}=1 $$

सामान्यतः, किसी पूर्णांक $k, i^{4 k}=1, i^{4 k+1}=i, i^{4 k+2}=-1, i^{4 k+3}=-i$ के लिए

4.3.6 एक ऋणात्मक वास्तविक संख्या के वर्गमूल

ध्यान दें कि $i^{2}=-1$ और $(-i)^{2}=i^{2}=-1$

इसलिए, -1 के वर्गमूल $i,-i$ हैं। हालाँकि, प्रतीक $\sqrt{-1}$ से, हमारा तात्पर्य केवल $i$ से होगा।

अब, हम देख सकते हैं कि $i$ और $-i$ दोनों समीकरण $x^{2}+1=0$ या $x^{2}=-1$ के हल हैं।

इसी प्रकार $\quad(\sqrt{3} i)^{2}=(\sqrt{3})^{2} i^{2}=3(-1)=-3$

$$ (-\sqrt{3} i)^{2}=(-\sqrt{3})^{2} i^{2}=-3 $$

इसलिए, -3 के वर्गमूल $\sqrt{3} i$ और $-\sqrt{3} i$ हैं।

पुनः, प्रतीक $\sqrt{-3}$ का अर्थ केवल $\sqrt{3} i$ को दर्शाना है, अर्थात्, $\sqrt{-3}=\sqrt{3} i$।

सामान्यतः, यदि $a$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है, $\sqrt{-a}=\sqrt{a} \sqrt{-1}=\sqrt{a} i$,

हम पहले से ही जानते हैं कि सभी धनात्मक वास्तविक संख्या $a$ और $b$ के लिए $\sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b}$। यह परिणाम तब भी सत्य रहता है जब या तो $a>0, b<0$ या $a<0, b>0$। यदि $a<0, b<0$ तो क्या? आइए हम जाँच करें।

ध्यान दें कि

$ \begin{aligned} i^{2} & =\sqrt{-1} \sqrt{-1}=\sqrt{(-1)(-1)} \text{ (सभी वास्तविक संख्याओं के लिए } \sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b} \text{ मानकर) } \\ & =\sqrt{1}=1 \text{, जो इस तथ्य के विपरीत है कि } i^{2}=-1 \end{aligned} $

इसलिए, $\sqrt{a} \times \sqrt{b} \neq \sqrt{a b}$ यदि $a$ और $b$ दोनों ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं।

इसके अलावा, यदि $a$ और $b$ में से कोई भी शून्य है, तो स्पष्ट रूप से, $\sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b}=0$।

4.3.7 सर्वसमिकाएँ

हम निम्नलिखित सर्वसमिका सिद्ध करते हैं

$ (z_1+z_2)^{2}=z_1^{2}+z_2^{2}+2 z_1 z_2 \text{, सभी सम्मिश्र संख्याओं } z_1 \text{ और } z_2 \text{ के लिए। } $

उपपत्ति हमारे पास है, $(z_1+z_2)^{2}=(z_1+z_2)(z_1+z_2)$,

$$ \begin{aligned} =(z_1+z_2) z_1+(z_1+z_2) z_2 & \text{ (Distributive law) } \\ =z_1^{2}+z_2 z_1+z_1 z_2+z_2^{2} & \text{ (Distributive law) } \\ =z_1^{2}+z_1 z_2+z_1 z_2+z_2^{2} & \text{ (Commutative law of multiplication) } \\ =z_1^{2}+2 z_1 z_2+z_2^{2} & \end{aligned} $$

इसी प्रकार, हम निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ सिद्ध कर सकते हैं:

(i) $(z_1-z_2)^{2}=z_1^{2}-2 z_1 z_2+z_2^{2}$

(ii) $(z_1+z_2)^{3}=z_1^{3}+3 z_1^{2} z_2+3 z_1 z_2^{2}+z_2^{3}$

(iii) $(z_1-z_2)^{3}=z_1^{3}-3 z_1^{2} z_2+3 z_1 z_2^{2}-z_2^{3}$

(iv) $z_1^{2}-z_2^{2}=(z_1+z_2)(z_1-z_2)$

वास्तव में, कई अन्य सर्वसमिकाएँ जो सभी वास्तविक संख्याओं के लिए सत्य हैं, सभी सम्मिश्र संख्याओं के लिए सत्य सिद्ध की जा सकती हैं।

उदाहरण 2 निम्नलिखित को $a+b i$ के रूप में व्यक्त कीजिए:

(i) $(-5 i)(\frac{1}{8} i)$

(ii) $(-i)(2 i)(-\frac{1}{8} i)^{3}$

हल (i) $(-5 i)(\frac{1}{8} i)=\frac{-5}{8} i^{2}=\frac{-5}{8}(-1)=\frac{5}{8}=\frac{5}{8}+i 0$

(ii) $(-i)(2 i)(-\frac{1}{8} i)^{3}=2 \times \frac{1}{8 \times 8 \times 8} \times i^{5}=\frac{1}{256}(i^{2})^{2} i=\frac{1}{256} i$।

उदाहरण 3 $(5-3 i)^{3}$ को $a+i b$ के रूप में व्यक्त कीजिए।

हल हमारे पास है, $(5-3 i)^{3}=5^{3}-3 \times 5^{2} \times(3 i)+3 \times 5(3 i)^{2}-(3 i)^{3}$

$$ =125-225 i-135+27 i=-10-198 i . $$

उदाहरण 4 $(-\sqrt{3}+\sqrt{-2})(2 \sqrt{3}-i)$ को $a+i b$ के रूप में व्यक्त कीजिए।

हल हमारे पास है, $(-\sqrt{3}+\sqrt{-2})(2 \sqrt{3}-i)=(-\sqrt{3}+\sqrt{2} i)(2 \sqrt{3}-i)$

$ =-6+\sqrt{3} i+2 \sqrt{6} i-\sqrt{2} i^{2}=(-6+\sqrt{2})+\sqrt{3}(1+2 \sqrt{2}) i $

4.4 एक सम्मिश्र संख्या का मापांक और संयुग्मी

मान लीजिए $z=a+i b$ एक सम्मिश्र संख्या है। तब, $z$ का मापांक, जिसे $|z|$ से निरूपित किया जाता है, को ऋणेतर वास्तविक संख्या $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है, अर्थात्, $|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ और $z$ का संयुग्मी, जिसे $\bar{z}$ से निरूपित किया जाता है, सम्मिश्र संख्या $a-i b$ है, अर्थात्, $\bar{z}=a-i b$।

उदाहरण के लिए, $\quad|3+i|=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10},|2-5 i|=\sqrt{2^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{29}$,

और

$ \overline{3+i}=3-i, \overline{2-5 i}=2+5 i, \overline{-3 i-5}=3 i-5 $

ध्यान दें कि अशून्य सम्मिश्र संख्या $z$ का गुणनात्मक प्रतिलोम निम्न प्रकार दिया जाता है:

$ \begin{aligned} & \quad z^{-1}=\frac{1}{a+i b}=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a-i b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{\bar{z}}{|z|^{2}} \\ & \text{ या } z \bar{z}=|z|^{2} \end{aligned} $

इसके अलावा, निम्नलिखित परिणाम आसानी से प्राप्त किए जा सकते हैं।

किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं $z_1$ और $z_2$ के लिए, हमारे पास है

(i) $|z_1 z_2|=|z_1||z_2|$

(ii) $|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$ बशर्ते कि $|z_2| \neq 0$

(iii) $\overline{z_1 z_2}=\overline{z_1} \overline{z_2}$

(iv) $\overline{z_1 \pm z_2}=\overline{z_1} \pm \overline{z_2} $

(v) $\overline{(\frac{z_1}{z_2})} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}provied z_2\neq0 $।

उदाहरण 5 $2-3 i$ का गुणनात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए।

हल मान लीजिए $z=2-3 i$

तब $\quad \bar{z}=2+3 i$ और $\quad|z|^{2}=2^{2}+(-3)^{2}=13$

इसलिए, $2-3 i$ का गुणनात्मक प्रतिलोम निम्न प्रकार दिया जाता है:

$ z^{-1}=\frac{\bar{z}}{|z|^{2}}=\frac{2+3 i}{13}=\frac{2}{13}+\frac{3}{13} i $

उपरोक्त कार्य को निम्न प्रकार से भी पुनः प्रस्तुत किया जा सकता है,

$ \begin{aligned} z^{-1} & =\frac{1}{2-3 i}=\frac{2+3 i}{(2-3 i)(2+3 i)} \\ & =\frac{2+3 i}{2^{2}-(3 i)^{2}}=\frac{2+3 i}{13}=\frac{2}{13}+\frac{3}{13} i \end{aligned} $

उदाहरण 6 निम्नलिखित को $a+i b$ के रूप में व्यक्त कीजिए:

(i) $\frac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i}$

(ii) $i^{-35}$

हल (i) हमारे पास है, $\frac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i}=\frac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i} \times \frac{1+\sqrt{2} i}{1+\sqrt{2} i}=\frac{5+5 \sqrt{2} i+\sqrt{2} i-2}{1-(\sqrt{2} i)^{2}}$

$$ =\frac{3+6 \sqrt{2} i}{1+2}=\frac{3(1+2 \sqrt{2} i)}{3}=1+2 \sqrt{2} i $$

(ii) $i^{-35}=\frac{1}{i^{35}}=\frac{1}{(i^{2})^{17} i}=\frac{1}{-i} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{-i^{2}}=i$

4.5 आर्गंड तल और ध्रुवीय निरूपण

हम पहले से ही जानते हैं कि प्रत्येक क्रमित युग्म $(x, y)$ के संगत, हमें XY तल में एक अद्वितीय बिंदु प्राप्त होता है और इसके विपरीत भी, परस्पर लंबवत रेखाओं के एक समुच्चय के सन्दर्भ में, जिन्हें $x$-अक्ष और $y$-अक्ष के रूप में जाना जाता है। सम्मिश्र संख्या $x+i y$ जो क्रमित युग्म $(x, y)$ के संगत है, को ज्यामितीय रूप से XY-तल में अद्वितीय बिंदु $P(x, y)$ के रूप में निरूपित किया जा सकता है और इसके विपरीत भी।

कुछ सम्मिश्र संख्याएँ जैसे $2+4 i,-2+3 i, 0+1 i, 2+0 i,-5-2 i$ और $1-2 i$, जो क्रमशः क्रमित युग्मों $(2,4),(-2,3),(0,1),(2,0),(-5,-2)$, और $(1,-2)$ के संगत हैं, को ज्यामितीय रूप से क्रमशः बिंदुओं $A, B, C, D, E$, और $F$ द्वारा चित्र 4.1 में निरूपित किया गया है।

चित्र 4.1

वह तल जिसके प्रत्येक बिंदु पर एक सम्मिश्र संख्या निर्धारित की गई है, सम्मिश्र तल या आर्गंड तल कहलाता है।

स्पष्टतः, आर्गंड तल में, सम्मिश्र संख्या $x+i y=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ का मापांक बिंदु $P(x, y)$ और मूल बिंदु $O(0,0)$ के बीच की दूरी है (चित्र 4.2)। $x$-अक्ष पर स्थित बिंदु $a+i 0$ के रूप की सम्मिश्र संख्याओं के संगत होते हैं और $y$-अक्ष पर स्थित बिंदु $0+i b$ के रूप की सम्मिश्र संख्याओं के संगत होते हैं। आर्गंड तल में $x$-अक्ष और $y$-अक्ष को क्रमशः वास्तविक अक्ष और काल्पनिक अक्ष कहा जाता है।

चित्र 4.2

एक सम्मिश्र संख्या $z=x+i y$ और उसके संयुग्मी $z=x-i y$ का आर्गंड तल में निरूपण क्रमशः बिंदु $P(x, y)$ और $Q(x,-y)$ हैं। ज्यामितीय रूप से, बिंदु $(x,-y)$, बिंदु $(x, y)$ की वास्तविक अक्ष पर दर्पण प्रतिबिम्ब है (चित्र 4.3)।

चित्र 4.2

विविध उदाहरण

उदाहरण 7 $\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$ का संयुग्मी ज्ञात कीजिए।

हल हमारे पास है, $\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$

$ \begin{aligned} & =\frac{6+9 i-4 i+6}{2-i+4 i+2}=\frac{12+5 i}{4+3 i} \times \frac{4-3 i}{4-3 i} \\ & =\frac{48-36 i+20 i+15}{16+9}=\frac{63-16 i}{25}=\frac{63}{25}-\frac{16}{25} i \end{aligned} $

इसलिए, $\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$ का संयुग्मी $\frac{63}{25}+\frac{16}{25} i$ है।

उदाहरण 8 यदि $x+i y=\frac{a+i b}{a-i b}$, तो सिद्ध कीजिए कि $x^{2}+y^{2}=1$।

हल हमारे पास है,

$ x+i y=\frac{(a+i b)(a+i b)}{(a-i b)(a+i b)}=\frac{a^{2}-b^{2}+2 a b i}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{2 a b}{a^{2}+b^{2}} i $

इस प्रकार कि, $x-i y=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}-\frac{2 a b}{a^{2}+b^{2}} i$

इसलिए,

$ \begin{aligned} x^{2}+y^{2}=(x+i y)(x-i y) & =\frac{\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}+\frac{4 a^{2} b^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}\\ & =\frac{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}=1 \end{aligned} $

सारांश

$a+i b$ के रूप की एक संख्या, जहाँ $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएँ हैं, को एक सम्मिश्र संख्या कहा जाता है, $a$ को वास्तविक भाग और $b$ को सम्मिश्र संख्या का काल्पनिक भाग कहा जाता है।

मान लीजिए $z_1=a+i b$ और $z_2=c+i d$। तब

(i) $z_1+z_2=(a+c)+i(b+d)$

(ii) $z_1 z_2=(a c-b d)+i(a d+b c)$

किसी अशून्य सम्मिश्र संख्या $z=a+i b(a \neq 0, b \neq 0)$ के लिए, सम्मिश्र संख्या $\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}$ का अस्तित्व होता है, जिसे $\frac{1}{z}$ या $z^{-1}$ से निरूपित किया जाता है, जिसे $z$ का गुणनात्मक प्रतिलोम कहा जाता है, जिससे कि $(a+i b) \frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}=1+i 0$ $=1$

किसी पूर्णांक $k, i^{4 k}=1, i^{4 k+1}=i, i^{4 k+2}=-1, i^{4 k+3}=-i$ के लिए

सम्मिश्र संख्या $z=a+i b$ का संयुग्मी, जिसे $\bar{z}$ से निरूपित किया जाता है, $\bar{z}=a-i b$ द्वारा दिया जाता है।

ऐतिहासिक पृष्ठभूमि

यह तथ्य कि एक ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल वास्तविक संख्या प्रणाली में विद्यमान नहीं है, यूनानियों द्वारा मान्यता प्राप्त थी। लेकिन श्रेय भारतीय गणितज्ञ महावीर (850) को जाता है जिन्होंने पहली बार इस कठिनाई को स्पष्ट रूप से बताया। “वे अपने कार्य ‘गणितसार संग्रह’ में उल्लेख करते हैं कि ‘प्रकृति की वस्तुओं में एक ऋणात्मक (राशि) एक वर्ग (राशि) नहीं है’, इसलिए, इसका कोई वर्गमूल नहीं है।” एक अन्य भारतीय गणितज्ञ, भास्कर, ने भी 1150 में लिखित अपने कार्य बीजगणित में लिखा है, “एक ऋणात्मक राशि का कोई वर्गमूल नहीं है, क्योंकि यह एक वर्ग नहीं है।” कार्डान (1545) ने निम्नलिखित को हल करने की समस्या पर विचार किया:

$ x+y=10, x y=40 . $

उन्होंने $x=5+\sqrt{-15}$ और $y=5-\sqrt{-15}$ को इसका हल प्राप्त किया, जिसे उन्होंने यह कहकर त्याग दिया कि ये संख्याएँ ‘निरर्थक’ हैं। अल्बर्ट गिरार्ड (लगभग 1625) ने ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूल को स्वीकार किया और कहा कि यह हमें बहुपद समीकरण की घात के समान अनेक मूल प्राप्त करने में सक्षम करेगा। यूलर ने पहली बार $i$ के लिए प्रतीक $\sqrt{-1}$ प्रस्तुत किया और डब्ल्यू.आर. हैमिल्टन (लगभग 1830) ने सम्मिश्र संख्या $a+i b$ को वास्तविक संख्याओं के एक क्रमित युग्म $(a, b)$ के रूप में माना, इस प्रकार इसे एक विशुद्ध गणितीय परिभाषा दी और तथाकथित ‘काल्पनिक संख्याओं’ के उपयोग से बचा।