गणित कई चीजों को कई अलग-अलग तरीकों से कहने की कला है। - मैक्सवेल

5.1 भूमिका

पिछली कक्षाओं में, हमने एक चर और दो चरों वाले समीकरणों का अध्ययन किया है और कुछ कथन समस्याओं को समीकरणों के रूप में अनुवादित करके हल भी किया है। अब एक स्वाभाविक प्रश्न उठता है: ‘क्या एक कथन समस्या को हमेशा एक समीकरण के रूप में अनुवादित करना संभव है? उदाहरण के लिए, आपकी कक्षा के सभी विद्यार्थियों की ऊँचाई $160 cm$ से कम है। आपकी कक्षा अधिकतम 60 मेजों या कुर्सियों या दोनों को समा सकती है। यहाँ हमें कुछ कथन प्राप्त होते हैं जिनमें चिह्न ’ $<$ ’ (से कम), ‘>’ (से अधिक), ’ $\leq$ ’ (से कम या बराबर) और $\geq$ (से अधिक या बराबर) शामिल होते हैं जिन्हें असमिकाएँ कहा जाता है।

इस अध्याय में, हम एक और दो चरों वाली रैखिक असमिकाओं का अध्ययन करेंगे। असमिकाओं का अध्ययन विज्ञान, गणित, सांख्यिकी, अर्थशास्त्र, मनोविज्ञान आदि के क्षेत्र में समस्याओं को हल करने में बहुत उपयोगी है।

5.2 असमिकाएँ

आइए निम्नलिखित स्थितियों पर विचार करें:

(i) रवि चावल खरीदने के लिए ₹ 200 लेकर बाजार जाता है, जो $1 kg$ के पैकेटों में उपलब्ध है। चावल के एक पैकेट की कीमत ₹ 30 है। यदि $x$ चावल के पैकेटों की संख्या को निरूपित करता है, जो वह खरीदता है, तो उसके द्वारा खर्च की गई कुल राशि ₹ $30 x$ है। चूँकि, उसे चावल केवल पैकेटों में ही खरीदना है, वह ₹ 200 की पूरी राशि खर्च नहीं कर पाएगा। (क्यों?) अतः

$$ 30 x<200 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $$

स्पष्ट है कि कथन (i) एक समीकरण नहीं है क्योंकि इसमें समानता का चिह्न शामिल नहीं है। (ii) रेशमा के पास ₹ 120 हैं और वह कुछ रजिस्टर और पेन खरीदना चाहती है। एक रजिस्टर की कीमत ₹ 40 है और एक पेन की ₹ 20 है। इस स्थिति में, यदि $x$ रजिस्टरों की संख्या को और $y$, पेनों की संख्या को निरूपित करता है जो रेशमा खरीदती है, तो उसके द्वारा खर्च की गई कुल राशि ₹ $(40 x+20 y)$ है और हमारे पास है

$$ 40 x+20 y \leq 120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $$

चूँकि इस स्थिति में कुल खर्च की गई राशि ₹ 120 तक हो सकती है। ध्यान दें कि कथन (2) में दो कथन शामिल हैं

$ \text{ और } \quad \begin{aligned} & 40 x+20 y<120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (3) \\ & 40 x+20 y=120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (4) \end{aligned} $

कथन (3) एक समीकरण नहीं है, अर्थात, यह एक असमिका है जबकि कथन (4) एक समीकरण है।

परिभाषा 1 दो वास्तविक संख्याएँ या दो बीजीय व्यंजक जो चिह्न ’ $<$,’, ‘>’, ’ $\leq$ ’ या ’ $\geq$ ’ द्वारा संबंधित हों, एक असमिका बनाते हैं।

ऊपर के कथन जैसे (1), (2) और (3) असमिकाएँ हैं।

$3<5 ; 7>5$ संख्यात्मक असमिकाओं के उदाहरण हैं जबकि

$x<5 ; y>2 ; x \geq 3, y \leq 4$ शाब्दिक असमिकाओं के कुछ उदाहरण हैं। $3<5<7($ (5 को 3 से अधिक और 7 से कम पढ़ा जाता है), $3 \leq x<5($ ($x$ को 3 से अधिक या बराबर और 5 से कम पढ़ा जाता है) और $2<y \leq 4$ द्वि-असमिकाओं के उदाहरण हैं। असमिकाओं के कुछ और उदाहरण हैं:

$$ \begin{align*} & a x+b<0 \tag{5}\\ & a x+b>0 \tag{6}\\ & a x+b \leq 0 \tag{7}\\ & a x+b \geq 0 \tag{8}\\ & a x+b y<c \tag{9}\\ & a x+b y>c \tag{10}\\ & a x+b y \leq c \tag{11}\\ & a x+b y \geq c \tag{12}\\ & a x^{2}+b x+c \leq 0 \tag{13}\\ & a x^{2}+b x+c>0 \tag{14} \end{align*} $$

असमिकाएँ (5), (6), (9), (10) और (14) सख्त असमिकाएँ हैं जबकि असमिकाएँ (7), (8), (11), (12), और (13) शिथिल असमिकाएँ हैं। (5) से (8) तक की असमिकाएँ एक चर $x$ में रैखिक असमिकाएँ हैं जब $a \neq 0$, जबकि (9) से (12) तक की असमिकाएँ दो चरों $x$ और $y$ में रैखिक असमिकाएँ हैं जब $a \neq 0, b \neq 0$। असमिकाएँ (13) और (14) रैखिक नहीं हैं (वास्तव में, ये एक चर $x$ में द्विघात असमिकाएँ हैं जब $a \neq 0)$)।

इस अध्याय में, हम अपने आप को केवल एक और दो चरों वाली रैखिक असमिकाओं के अध्ययन तक सीमित रखेंगे।

5.3 एक चर में रैखिक असमिकाओं के बीजगणितीय हल और उनका आलेखीय निरूपण

आइए खंड 6.2 की असमिका (1) पर विचार करें, अर्थात्, $30 x<200$ ध्यान दें कि यहाँ $x$ चावल के पैकेटों की संख्या को निरूपित करता है। स्पष्टतः, $x$ एक ऋणात्मक पूर्णांक या भिन्न नहीं हो सकता। इस असमिका का बायाँ पक्ष (L.H.S.) $30 x$ है और दायाँ पक्ष (RHS) 200 है। इसलिए, हमारे पास है

$ \begin{aligned} & \text{ For } x=0 \text{, L.H.S. }=30(0)=0<200(\text{ R.H.S. }) \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=1 \text{, L.H.S. }=30(1)=30<200 \text{ (R.H.S.), which is true. } \\ & \text{ For } x=2 \text{, L.H.S. }=30(2)=60<200 \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=3 \text{, L.H.S. }=30(3)=90<200 \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=4 \text{, L.H.S. }=30(4)=120<200 \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=5 \text{, L.H.S. }=30(5)=150<200 \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=6 \text{, L.H.S. }=30(6)=180<200 \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=7 \text{, L.H.S. }=30(7)=210<200 \text{, which is false. } \end{aligned} $

उपरोक्त स्थिति में, हम पाते हैं कि $x$ के वे मान, जो उपरोक्त असमिका को एक सत्य कथन बनाते हैं, $0,1,2,3,4,5,6$ हैं। $x$ के ये मान, जो उपरोक्त असमिका को एक सत्य कथन बनाते हैं, असमिका के हल कहलाते हैं और समुच्चय ${0,1,2,3,4,5,6}$ को इसका हल समुच्चय कहा जाता है।

इस प्रकार, एक चर वाली किसी असमिका का कोई भी हल चर का वह मान है जो इसे एक सत्य कथन बनाता है।

हमने उपरोक्त असमिका के हल परीक्षण और त्रुटि विधि से पाए हैं जो बहुत कुशल नहीं है। स्पष्टतः, यह विधि समय लेने वाली है और कभी-कभी व्यावहारिक नहीं है। हमारे पास असमिकाओं को हल करने के लिए कुछ बेहतर या व्यवस्थित तकनीकें होनी चाहिए। उससे पहले हमें संख्यात्मक असमिकाओं के कुछ और गुणों से गुजरना चाहिए और असमिकाओं को हल करते समय उन्हें नियमों के रूप में अपनाना चाहिए।

आपको याद होगा कि रैखिक समीकरणों को हल करते समय, हमने निम्नलिखित नियमों का पालन किया था:

नियम 1 समान संख्याओं को एक समीकरण के दोनों पक्षों में जोड़ा (या घटाया) जा सकता है।

नियम 2 एक समीकरण के दोनों पक्षों को समान अशून्य संख्या से गुणा (या भाग) किया जा सकता है।

असमिकाओं को हल करने के मामले में, हम फिर से समान नियमों का पालन करते हैं सिवाय इस अंतर के कि नियम 2 में, असमिका का चिह्न उलट जाता है (अर्थात, ‘<’ ‘>’ बन जाता है, $\leq$ ’ $\geq$ ’ बन जाता है और इसी तरह) जब भी हम एक असमिका के दोनों पक्षों को एक ऋणात्मक संख्या से गुणा (या भाग) करते हैं। यह तथ्यों से स्पष्ट है कि

$ \begin{aligned} & 3>2 \text{ जबकि }-3<-2 \\ & -8<-7 \text{ जबकि }(-8)(-2)>(-7)(-2), \text{ अर्थात्, } 16>14 . \end{aligned} $

इस प्रकार, हम एक असमिका को हल करने के लिए निम्नलिखित नियम बताते हैं:

नियम 1 समान संख्याओं को एक असमिका के दोनों पक्षों में असमिका के चिह्न को प्रभावित किए बिना जोड़ा (या घटाया) जा सकता है।

नियम 2 एक असमिका के दोनों पक्षों को समान धनात्मक संख्या से गुणा (या भाग) किया जा सकता है। लेकिन जब दोनों पक्षों को एक ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग किया जाता है, तो असमिका का चिह्न उलट जाता है।

अब, आइए कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1 $30 x<200$ को हल कीजिए जब (i) $x$ एक प्राकृत संख्या है, (ii) $x$ एक पूर्णांक है।

हल हमें दिया गया है $30 x<200$

या $\quad \frac{30 x}{30}<\frac{200}{30}$ (नियम 2), अर्थात्, $x<20 / 3$।

(i) जब $x$ एक प्राकृत संख्या है, इस स्थिति में $x$ के निम्नलिखित मान कथन को सत्य बनाते हैं।

$$ x=1,2,3,4,5,6 $$

असमिका का हल समुच्चय $\{1,2,3,4,5,6\}$ है।

(ii) जब $x$ एक पूर्णांक है, दी गई असमिका के हल हैं

$$ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6 $$

असमिका का हल समुच्चय $ \{ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6 \} $ है

उदाहरण 2 $5 x-3<3 x+1$ को हल कीजिए जब (i) $x$ एक पूर्णांक है, (ii) $x$ एक वास्तविक संख्या है।

हल हमारे पास है, $5 x-3<3 x+1$

या $\quad \quad$ $5 x-3+3<3 x+1+3$ $\quad \quad \quad$ (नियम 1)

या $\quad \quad$ $5 x<3 x+4$

या $\quad \quad$ $5 x-3 x<3 x+4-3 x$ $\quad \quad \quad \quad$ (नियम 2)

या $\quad \quad$ $2 x<4$

या $\quad \quad$ $x<2$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad$ (नियम 3)

(i) जब $x$ एक पूर्णांक है, दी गई असमिका के हल हैं

$ \ldots,-4,-3,-2,-1,0,1 $

(ii) जब $x$ एक वास्तविक संख्या है, असमिका के हल $x<2$ द्वारा दिए गए हैं, अर्थात्, सभी वास्तविक संख्याएँ $x$ जो 2 से कम हैं। इसलिए, असमिका का हल समुच्चय $x \in(-\infty, 2)$ है।

हमने प्राकृत संख्याओं के समुच्चय, पूर्णांकों के समुच्चय और वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में असमिकाओं के हलों पर विचार किया है। इसके बाद, जब तक अन्यथा कहा न जाए, हम इस अध्याय में असमिकाओं को वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में हल करेंगे।

उदाहरण 3 $4 x+3<6 x+7$ को हल कीजिए।

हल हमारे पास है, $\quad 4 x+3<6 x+7$

या $\quad 4 x-6 x<6 x+4-6 x$

या $\quad-2 x<4 \quad$ या $x>-2$

अर्थात्, सभी वास्तविक संख्याएँ जो -2 से अधिक हैं, दी गई असमिका के हल हैं। अतः, हल समुच्चय $(-2, \infty)$ है।

उदाहरण 4 $\frac{5-2 x}{3} \leq \frac{x}{6}-5$ को हल कीजिए।

हल हमारे पास है $\quad \quad \quad \quad$ $\frac{5-2 x}{3} \leq \frac{x}{6}-5$

या $\quad \quad \quad \quad$ $2(5-2 x) \leq x-30 \text {. }$

या $\quad \quad \quad \quad$ $10-4 x \leq x-30$

या $\quad \quad \quad \quad$ $-5 x \leq-40 \text {, i.e., } x \geq 8$

इस प्रकार, सभी वास्तविक संख्याएँ $x$ जो 8 से अधिक या बराबर हैं, दी गई असमिका के हल हैं, अर्थात्, $x \in[8, \infty)$।

उदाहरण 5 $7 x+3<5 x+9$ को हल कीजिए। संख्या रेखा पर हलों का आलेख दर्शाइए।

हल हमारे पास है $7 x+3<5 x+9$ या $2 x<6$ या $x<3$

हलों का आलेखीय निरूपण चित्र 5.1 में दिया गया है।

चित्र 5.1

उदाहरण 6 $\frac{3 x-4}{2} \geq \frac{x+1}{4}-1$ को हल कीजिए। संख्या रेखा पर हलों का आलेख दर्शाइए।

हल हमारे पास है $ \frac{3 x-4}{2}\geq\frac{x+1}{4}-1$

$ \text{or} \quad \frac{3 x-4}{2} \geq \frac{x-3}{4} $

$ \text{or} \quad 2(3 x-4) \geq(x-3) $

या $\quad \quad \quad \quad$ $6 x-8 \geq x-3$

या $\quad \quad \quad \quad$ $5 x \geq 5$

या $\quad \quad \quad \quad$ $x \geq 1$

हलों का आलेखीय निरूपण चित्र 5.2 में दिया गया है।

चित्र 5.2

उदाहरण 7 कक्षा XI के एक विद्यार्थी के प्रथम और द्वितीय सत्रीय परीक्षा में प्राप्तांक क्रमशः 62 और 48 हैं। कम से कम 60 अंकों का औसत प्राप्त करने के लिए वार्षिक परीक्षा में उसे न्यूनतम कितने अंक प्राप्त करने चाहिए?

हल मान लीजिए $x$ वार्षिक परीक्षा में विद्यार्थी द्वारा प्राप्त अंक हैं। तब

$ \frac{62+48+x}{3} \geq 60 $

या $\quad \quad \quad \quad 110+x \geq 180$

या $\quad \quad \quad \quad$ $x \geq 70$

इस प्रकार, विद्यार्थी को कम से कम 60 अंकों का औसत प्राप्त करने के लिए न्यूनतम 70 अंक प्राप्त करने होंगे।

उदाहरण 8 उन सभी क्रमागत विषम प्राकृत संख्याओं के युग्म ज्ञात कीजिए, जिन दोनों का मान 10 से अधिक है, और जिनका योग 40 से कम है।

हल मान लीजिए $x$ दो क्रमागत विषम प्राकृत संख्याओं में से छोटी संख्या है, ताकि दूसरी संख्या $x+2$ हो। तब, हमारे पास होना चाहिए

$$ \begin{equation*} x>10 \tag{1} \end{equation*} $$

$$ \begin{equation*} \text{ and } \quad \quad \quad x>10 \tag{2} \end{equation*} $$

(2) को हल करने पर, हम पाते हैं

$$ \begin{equation*} 2 x+2<40 \tag{3} \end{equation*} $$

अर्थात्, $$x<19 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (3) $$

(1) और (3) से, हम पाते हैं

$$ 10<x<19 $$

चूँकि $x$ एक विषम संख्या है, $x$ मान 11,13,15, और 17 ले सकती है। इसलिए, अभीष्ट संभावित युग्म होंगे $(11,13),(13,15),(15,17),(17,19)$

विविध उदाहरण

उदाहरण 9 $-8 \leq 5 x-3<7$ को हल कीजिए।

हल इस स्थिति में, हमारे पास दो असमिकाएँ हैं, $-8 \leq 5 x-3$ और $5 x-3<7$, जिन्हें हम एक साथ हल करेंगे। हमारे पास है $-8 \leq 5 x-3<7$

या $\quad-5 \leq 5 x<10$

$ \text{ या } \quad-1 \leq x<2 $

उदाहरण 10 $-5 \leq \frac{5-3 x}{2} \leq 8$ को हल कीजिए।

हल हमारे पास है $\quad-5 \leq \frac{5-3 x}{2} \leq 8$

या $\quad-10 \leq 5-3 x \leq 16 \quad$ या $\quad-15 \leq-3 x \leq 11$

या $\quad 5 \geq x \geq-\frac{11}{3}$

जिसे $\frac{-11}{3} \leq x \leq 5$ के रूप में लिखा जा सकता है

उदाहरण 11 असमिकाओं के निकाय को हल कीजिए:

$$ \begin{aligned} & 3 x-7<5+x \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(1) \\ & 11-5 x \leq 1 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(2) \end{aligned} $$

और संख्या रेखा पर हलों को निरूपित कीजिए।

हल असमिका (1) से, हमारे पास है

$$ 3 x - 7 < 5 + x $$

या $ \quad x < 6 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(3)$

साथ ही, असमिका (2) से, हमारे पास है

$$ 11-5 x \leq 1 $$

या $ \quad - 5 x \leq-10 \quad \text{ i.e., } x \geq 2 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(4)$

यदि हम असमिकाओं (3) और (4) का आलेख संख्या रेखा पर खींचते हैं, तो हम देखते हैं कि $x$ के वे मान, जो दोनों के लिए उभयनिष्ठ हैं, चित्र 5.3 में मोटी रेखा द्वारा दर्शाए गए हैं।

इस प्रकार, निकाय के हल वे वास्तविक संख्याएँ $x$ हैं जो 2 और 6 के बीच स्थित हैं जिसमें 2 शामिल है, अर्थात्, $2 \leq x<6$

उदाहरण 12 एक प्रयोग में, हाइड्रोक्लोरिक अम्ल के एक विलयन को $30^{\circ}$ और $35^{\circ}$ सेल्सियस के बीच रखा जाना है। डिग्री फारेनहाइट में तापमान की सीमा क्या है यदि रूपांतरण सूत्र $C=\frac{5}{9} \quad(F-32)$ द्वारा दिया गया है, जहाँ $C$ और $F$ क्रमशः डिग्री सेल्सियस और डिग्री फारेनहाइट में तापमान को निरूपित करते हैं।

हल यह दिया गया है कि $30<C<35$।

रखने पर $ C=\frac{5}{9}(F-32), \text{ हम पाते हैं } $ $ 30<\frac{5}{9}(F-32)<35 $

या $\quad\quad\quad$ $ \frac{9}{5} \times(30)<(F-32)<\frac{9}{5} \times(35) $

$ \begin{matrix} \text{ या } & 54<(F-32)<63 \\ \text{ या } & 86<F<95 . \end{matrix} $

इस प्रकार, तापमान की अभीष्ट सीमा $86^{\circ} F$ और $95^{\circ} F$ के बीच है।

उदाहरण 13 एक निर्माता के पास अम्ल का एक $12\%$ विलयन के 600 लीटर हैं। इसमें कितने लीटर $30 \%$ अम्ल विलयन मिलाया जाना चाहिए ताकि परिणामी मिश्रण में अम्ल की मात्रा $15 \%$ से अधिक लेकिन $18 \%$ से कम हो?

हल मान लीजिए $x$ लीटर $30 \%$ अम्ल विलयन मिलाने की आवश्यकता है। तब कुल मिश्रण $=(x+600)$ लीटर

इसलिए $30 \% x+12 \%$ का $600>15 \%$ का $(x+600)$

और $\quad \quad \quad 30 \% x+12 \%$ का $600<18 \%$ का $(x+600)$

$ \begin{array}{ll} \text{या} & \frac{30 x}{100}+\frac{12}{100}(600)>\frac{15}{100}(x+600) \\ \\ \text{और} & \frac{30 x}{100}+\frac{12}{100}(600)<\frac{18}{100}(x+600) \\ \\ \text{या}& 30 x+7200>15 x+9000 \\ \text{और} & 30 x+7200<18 x+10800 \\ \text{या} & 15 x>1800 \text{ और } 12 x<3600 \\ \text{या} & x>120 \text{ और } x<300, \\ \text{अर्थात्} & 120<x<300 \end{array} $

इस प्रकार, $30 %$ अम्ल विलयन के लीटरों की संख्या 120 लीटर से अधिक लेकिन 300 लीटर से कम होनी चाहिए।

सारांश

दो वास्तविक संख्याएँ या दो बीजीय व्यंजक जो चिह्नों $<,>, \leq$ या $\geq$ द्वारा संबंधित हों, एक असमिका बनाते हैं।

समान संख्याओं को एक असमिका के दोनों पक्षों में असमिका के चिह्न को प्रभावित किए बिना जोड़ा (या घटाया) जा सकता है।

एक असमिका के दोनों पक्षों को समान धनात्मक संख्या से गुणा (या भाग) किया जा सकता है। लेकिन जब दोनों पक्षों को एक ऋणात्मक संख्या से गुणा (या भाग) किया जाता है, तो असमिका उलट जाती है।

$x$ के वे मान, जो एक असमिका को एक सत्य कथन बनाते हैं, असमिका के हल कहलाते हैं।

$x<a$ (या $x>a$ ) को संख्या रेखा पर निरूपित करने के लिए, संख्या $a$ पर एक वृत्त रखें और संख्या $a$ के बाईं (या दाईं) ओर की रेखा को गहरा करें।

$x \leq a$ ( या $x \geq a$ ) को संख्या रेखा पर निरूपित करने के लिए, संख्या $a$ पर एक गहरा वृत्त रखें और संख्या $x$ के बाईं (या दाईं) ओर की रेखा को गहरा करें।