हर खोज का श्रेणी गणितीय रूप में होती है क्योंकि हमारे पास अन्य कोई मार्गदर्शन नहीं होता - डार्विन

6.1 परिचय

मान लीजिए आपके पास एक सूटकेस है जिसमें एक नंबर लॉक है। इस नंबर लॉक में 4 पहिये हैं, जो प्रत्येक पर 0 से 9 तक के 10 अंकों के लेबल हैं। इस लॉक को खोलने के लिए 4 विशिष्ट अंकों को बिना पुनरावृत्ति के एक विशिष्ट क्रम में व्यवस्थित किया जाना चाहिए। कुछ ऐसा ही, आप इस विशिष्ट अंकों की श्रृंखला को भूल गए हैं। आप याद रखते हैं कि पहला अंक 7 है। लॉक खोलने के लिए, आपको कितनी 3-अंकीय श्रृंखलाओं की जांच करनी हो सकती है? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आप तुरंत शुरू कर सकते हैं शेष 9 अंकों के सभी संभावित व्यवस्थितियों को 3 बार लिखने की प्रक्रिया में शामिल करना। लेकिन, इस पद्धति को महंगी हो जाएगी, क्योंकि संभावित श्रृंखलाओं की संख्या बड़ी हो सकती है। यहां, इस अध्याय में, हम कुछ बुनियादी गणना तकनीकों का अध्ययन करेंगे जो इस प्रश्न का उत्तर देने में हमारी सहायता करेंगे बिना वास्तव में 3-अंकीय व्यवस्थितियों को सूचीबद्ध किए बिना। वास्तव में, ये तकनीकें वस्तुओं को व्यवस्थित करने और चयन करने के विभिन्न तरीकों की संख्या को निर्धारित करने में उपयोगी होंगे बिना उन्हें वास्तव में सूचीबद्ध किए। इन तकनीकों की अध्ययन करने के लिए पहले कदम में, हम उस सिद्धांत का परीक्षण करेंगे जो इन तकनीकों की अध्ययन के लिए सबसे मौलिक है।

6.2 गणना का मौलिक सिद्धांत

चलिए नीचे दिए गए समस्या पर विचार करते हैं। मोहन के पास 3 पैन्ट्स और 2 शर्ट्स हैं। वह कितनी अलग-अलग जोड़ी में एक पैन्ट और एक शर्ट पहन सकता है? एक पैन्ट का चयन करने का 3 तरीका है, क्योंकि 3 पैन्ट्स उपलब्ध हैं। इसी प्रकार, एक शर्ट का चयन करने का 2 तरीका है। इसलिए, एक पैन्ट के प्रत्येक चयन के लिए, एक शर्ट के 2 चयन हैं। इस प्रकार, एक पैन्ट और एक शर्ट की 6 जोड़ियाँ हैं।

चलिए नाम दें इन तीन पैन्ट्स को $P_1, P_2, P_3$ और दोनों शर्टों को $S_1, S_2$ कहते हैं। तो, इन 6 संभावनाओं को आकृति 6.1 में दर्शाया गया है।

आकृति 6.1

चलिए एक ऐसी अन्य समस्या पर विचार करते हैं जो इसी प्रकार की है।

सबनाम के पास 2 स्कूल की बैग, 3 टिफिन बॉक्स और 2 पानी की बुन्दे हैं। इन वस्तुओं को (एक प्रत्येक का चयन) कितनी भाषा में उसे उठाना है।

एक स्कूल की बैग का चयन करने का 2 अलग-अलग तरीका है। एक स्कूल की बैग का चयन करने के बाद, एक टिफिन बॉक्स का चयन करने का 3 अलग-अलग तरीका है। इस प्रकार, एक स्कूल की बैग और एक टिफिन बॉक्स के 3 जोड़ियाँ हैं। इन प्रत्येक जोड़ियों के लिए, एक पानी की बुन्दे का चयन करने का 2 अलग-अलग तरीका है।

इस प्रकार, सबनाम को इन वस्तुओं को स्कूल जाने के लिए 9 अलग-अलग तरीकों में उठाना है। यदि हम दोनों स्कूल की बैगों को $B_1, B_2$, तीन टिफिन बॉक्सों को $T_1, T_2, T_3$ और दो पानी की बुन्देों को $W_1, W_2$ कहते हैं, तो इन संभावनाओं को आकृति 6.2 में दर्शाया गया है।

आकृति 6.2

वास्तव में, उपरोक्त प्रकार की समस्याओं को सुलझाने में यह सिद्धांत का उपयोग किया जाता है जिसे गणना का मौलिक सिद्धांत कहते हैं, या बस, गुणन सिद्धांत, जो कि कहता है कि

“यदि एक घटना $m$ अलग-अलग तरीकों में हो सकती है, जिसके बाद एक अन्य घटना $n$ अलग-अलग तरीकों में हो सकती है, तो दिए गए क्रम में घटनाओं के कुल घटनाओं की संख्या $m \times n$ होगी।”

उपरोक्त सिद्धांत को किसी भी सीमित संख्या की घटनाओं के लिए सामान्य किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 3 घटनाओं के लिए सिद्धांत इस प्रकार है:

‘यदि एक घटना $m$ अलग-अलग तरीकों में हो सकती है, जिसके बाद एक अन्य घटना $n$ अलग-अलग तरीकों में हो सकती है, जिसके बाद एक तीसरी घटना $p$ अलग-अलग तरीकों में हो सकती है, तो दिए गए क्रम में घटनाओं के कुल घटनाओं की संख्या $m \times n \times p$ होगी।"

पहली समस्या में, एक पैन्ट और एक शर्ट पहनने के आवश्यक संख्या की संख्या उस घटनाओं के उत्तराधिकार के अलग-अलग तरीकों की संख्या थी जो एक क्रमानुसार हो सकती है:

(ए) एक पैन्ट चुनने की घटना

(ख) एक शर्ट चुनने की घटना।

दूसरी समस्या में, आवश्यक संख्या की संख्या उस घटनाओं के अलग-अलग तरीकों की संख्या थी जो एक क्रमानुसार हो सकती है:

(ए) एक स्कूल की बैग चुनने की घटना

(ख) एक टिफिन बॉक्स चुनने की घटना

(क) एक पानी की बुन्दे चुनने की घटना।

यहां, प्रत्येक समस्या में घटनाएं प्रत्येक समस्या में विभिन्न संभावित क्रमों में हो सकती हैं। लेकिन, हमें किसी भी संभावित क्रम का चयन करना होगा और उस चुने गए क्रम में घटनाओं के घटनाओं के अलग-अलग तरीकों की संख्या की गणना करनी होगी।

उदाहरण 1 शब्द ROSE के अक्षरों से बने 4 अक्षरों के शब्दों, जो अर्थ के साथ या बिना, जिनमें अक्षरों की पुनरावृत्ति नहीं की जाती, कितने बन सकते हैं?

समाधान शब्दों की उतनी ही संख्या है जितनी 4 अक्षरों से 4 रिक्त स्थान $\square \square \square \square$ को पूरा करने के तरीकों की संख्या है, ध्यान रखते हुए कि पुनरावृत्ति नहीं की जाती है। पहले स्थान को 4 अलग-अलग तरीकों में 4 अक्षरों में से किसी एक द्वारा भरा जा सकता है। इसके बाद, दूसरे स्थान को शेष 3 अक्षरों में से किसी एक द्वारा 3 अलग-अलग तरीकों में भरा जा सकता है, इसके बाद तीसरे स्थान को 2 अलग-अलग तरीकों में भरा जा सकता है; इसके बाद, चौथे स्थान को 1 तरीके से भरा जा सकता है। इस प्रकार, 4 स्थानों को गुणन सिद्धांत द्वारा भरने के तरीकों की संख्या $4 \times 3 \times 2 \times 1=24$ है। इस प्रकार, आवश्यक शब्दों की संख्या 24 है।

नोट - यदि अक्षरों की पुनरावृत्ति की अनुमति थी, तो कितने शब्द बनेंगे? एक आसानी से समझ में आता है कि प्रत्येक 4 रिक्त स्थान को एक क्रमानुसार 4 अलग-अलग तरीकों में भरा जा सकता है। इस प्रकार, आवश्यक शब्दों की संख्या $=4 \times 4 \times 4 \times 4=256$ है।

उदाहरण 2 4 अलग-अलग रंगों वाले झंडे दिए गए हैं, यदि एक संकेत के लिए 2 झंडे का उपयोग किया जाता है, एक दूसरे के नीचे, तो कितने अलग-अलग संकेत उत्पन्न किए जा सकते हैं?

समाधान उतने ही संकेत होंगे जितने 4 अलग-अलग रंगों वाले झंडों से 2 रिक्त स्थान $\begin{array}{|l|} \hline \quad \\ \hline \\ \hline \end{array}$ को एक क्रमानुसार भरने के तरीकों की संख्या है। ऊपरी रिक्त स्थान को 4 अलग-अलग तरीकों में 4 झंडों में से किसी एक द्वारा भरा जा सकता है; इसके बाद, निचले रिक्त स्थान को शेष 3 अलग-अलग झंडों में से किसी एक द्वारा 3 अलग-अलग तरीकों में भरा जा सकता है। इस प्रकार, गुणन सिद्धांत द्वारा आवश्यक संकेतों की संख्या $=4 \times 3=12$ है।

उदाहरण 3 अगर अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है, तो अंकों $1,2,3,4,5$ से कितने 2 अंकीय सम संख्याएं बन सकती हैं?

समाधान उतने ही तरीके होंगे जितने 5 दिए गए अंकों से 2 रिक्त स्थान $\square \square$ को एक क्रमानुसार भरने के तरीकों की संख्या है। यहां, इस मामले में, हम इकाई के स्थान पर शुरुआत करते हैं, क्योंकि इस स्थान के लिए विकल्प सिर्फ 2 और 4 हैं और इसे 2 तरीकों में किया जा सकता है; इसके बाद दशांश के स्थान को 5 अलग-अलग तरीकों में किसी भी 5 अंकों द्वारा भरा जा सकता है क्योंकि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है। इस प्रकार, गुणन सिद्धांत द्वारा आवश्यक 2 अंकीय सम संख्याओं की संख्या $2 \times 5$, अर्थात् 10 है।

उदाहरण 4 कितने अलग-अलग संकेत उत्पन्न किए जा सकते हैं जो कि 5 अलग-अलग झंडों के साथ एक क्रम (एक दूसरे के नीचे) में व्यवस्थित किए जाते हैं (एक दूसरे के नीचे) एक लंबे स्टाफ पर।

समाधान एक संकेत या तो 2 झंडे, 3 झंडे, 4 झंडे या 5 झंडे का समावेश कर सकता है। अब, चलिए 2 झंडे, 3 झंडे, 4 झंडे और 5 झंडे के संभावित संख्या की गणना करते हैं अलग-अलग और फिर संबंधित संख्याओं को जोड़ते हैं।

उतने ही 2 झंडे वाले संकेत होंगे जितने 5 उपलब्ध झंडों से 2 रिक्त स्थान $\begin{array}{|l|} \hline \quad \\ \hline \\ \hline \end{array}$ को एक क्रमानुसार भरने के तरीकों की संख्या है। गुणन नियम द्वारा, तरीकों की संख्या $5 \times 4=20$ है।

इसी प्रकार, उतने ही 3 झंडे वाले संकेत होंगे जितने 5 झंडों से 3 रिक्त स्थान $\begin{array}{|l|} \hline \quad \\ \hline \\ \hline \\ \hline \end{array}$ को एक क्रमानुसार भरने के तरीकों की संख्या है।

तरीकों की संख्या $5 \times 4 \times 3=60$ है।

इसी प्रकार जारी रखने पर, हमें पता चलता है कि

4 झंडे वाले संकेतों की संख्या $=5 \times 4 \times 3 \times 2=120$

और 5 झंडे वाले संकेतों की संख्या $=5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=120$

इस प्रकार, आवश्यक संकेतों की संख्या $=20+60+120+120=320$ है।

6.3 प्रारूपण

पिछले अनुभाग के उदाहरण 1 में, हम वास्तव में अक्षरों के विभिन्न संभावित व्यवस्थितियों की गणना कर रहे हैं जैसे कि ROSE, REOS, …, आदि। इस सूची में, प्रत्येक व्यवस्थित