गणित एक अत्यंत सटीक विज्ञान है और इसके निष्कर्ष पूर्ण प्रमाणों के योग्य हैं। - सी.पी. स्टीनमेट्ज़

7.1 भूमिका

पिछली कक्षाओं में, हमने सीखा था कि $a+b$ और $a-b$ जैसे द्विपदों के वर्ग और घन कैसे ज्ञात करते हैं। उनका उपयोग करके, हम $(98)^{2}=(100-2)^{2},(999)^{3}=(1000-1)^{3}$ आदि संख्याओं के संख्यात्मक मान ज्ञात कर सकते थे। हालाँकि, $(98)^{5},(101)^{6}$ आदि जैसी उच्च घातों के लिए, बार-बार गुणा करके गणनाएँ कठिन हो जाती हैं। इस कठिनाई को द्विपद प्रमेय नामक एक प्रमेय द्वारा दूर किया गया। यह $(a+b)^{n}$ को विस्तारित करने का एक आसान तरीका देता है, जहाँ $n$ एक पूर्णांक या परिमेय संख्या है। इस अध्याय में, हम केवल धनात्मक पूर्णांक घातांकों के लिए द्विपद प्रमेय का अध्ययन करते हैं।

ब्लेज़ पास्कल (1623-1662 ई.)

7.2 धनात्मक पूर्णांक घातांकों के लिए द्विपद प्रमेय

आइए हम पहले किए गए निम्नलिखित सर्वसमिकाओं पर एक नज़र डालें:

$$ \begin{aligned} & (a+b)^{0}=1 ; a+b \neq 0 \\ & (a+b)^{1}=a+b \\ & (a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2} \\ & (a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3} \\ & (a+b)^{4}=(a+b)^{3}(a+b)=a^{4}+4 a^{3} b+6 a^{2} b^{2}+4 a b^{3}+b^{4} \end{aligned} $$

इन प्रसारों में, हम देखते हैं कि

(i) प्रसार में पदों की कुल संख्या घातांक से एक अधिक होती है। उदाहरण के लिए, $(a+b)^{2}$ के प्रसार में, पदों की संख्या 3 है जबकि $(a+b)^{2}$ का घातांक 2 है।

(ii) पहली राशि ‘$a$’ की घातें क्रमिक पदों में 1 से घटती जाती हैं जबकि दूसरी राशि ‘$b$’ की घातें 1 से बढ़ती जाती हैं।

(iii) प्रसार के प्रत्येक पद में, $a$ और $b$ के घातांकों का योग समान होता है और $a+b$ के घातांक के बराबर होता है।

अब हम इन प्रसारों के गुणांकों को निम्नलिखित रूप में व्यवस्थित करते हैं (चित्र 7.1):

चित्र 7.1

क्या हम इस सारणी में कोई ऐसा प्रतिरूप देखते हैं जो हमें अगली पंक्ति लिखने में मदद करेगा? हाँ, हम देखते हैं। यह देखा जा सकता है कि घातांक 1 वाली पंक्ति में 1 को जोड़ने से घातांक 2 वाली पंक्ति में 2 प्राप्त होता है। घातांक 2 वाली पंक्ति में 1,2 और 2,1 को जोड़ने से घातांक 3 वाली पंक्ति में 3 और 3 प्राप्त होते हैं और इसी तरह आगे भी। साथ ही, प्रत्येक पंक्ति के आरंभ और अंत में 1 उपस्थित होता है। इसे हमारी रुचि के किसी भी घातांक तक जारी रखा जा सकता है।

हम कुछ और पंक्तियाँ लिखकर चित्र 7.2 में दिए गए प्रतिरूप को विस्तारित कर सकते हैं।

पास्कल त्रिभुज

चित्र 7.2 में दी गई संरचना एक त्रिभुज जैसी दिखती है जिसका शीर्ष शीर्ष पर 1 है और दोनों तिरछी भुजाओं पर नीचे की ओर चलता है। संख्याओं की इस सारणी को फ्रांसीसी गणितज्ञ ब्लेज़ पास्कल के नाम पर पास्कल त्रिभुज के नाम से जाना जाता है। इसे पिंगल द्वारा मेरु प्रस्तार के नाम से भी जाना जाता है।

पास्कल त्रिभुज का उपयोग करके द्विपद की उच्च घातों के प्रसार भी संभव हैं। आइए हम पास्कल त्रिभुज का उपयोग करके $(2 x+3 y)^{5}$ का प्रसार करें। घातांक 5 के लिए पंक्ति है

$$ \begin{matrix} 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 \end{matrix} $$

इस पंक्ति और हमारे प्रेक्षणों (i), (ii) और (iii) का उपयोग करके, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} (2 x+3 y)^{5} & =(2 x)^{5}+5(2 x)^{4}(3 y)+10(2 x)^{3}(3 y)^{2}+10(2 x)^{2}(3 y)^{3}+5(2 x)(3 y)^{4}+(3 y)^{5} \\ & =32 x^{5}+240 x^{4} y+720 x^{3} y^{2}+1080 x^{2} y^{3}+810 x y^{4}+243 y^{5} \end{aligned} $

अब, यदि हम $(2 x+3 y)^{12}$ का प्रसार ज्ञात करना चाहते हैं, तो हमें पहले घातांक 12 के लिए पंक्ति प्राप्त करने की आवश्यकता है। यह पास्कल त्रिभुज की सभी पंक्तियों को घातांक 12 तक लिखकर किया जा सकता है। यह एक कुछ लंबी प्रक्रिया है। जैसा कि आप देखते हैं, यह प्रक्रिया और अधिक कठिन हो जाएगी, यदि हमें और भी बड़ी घातों वाले प्रसारों की आवश्यकता हो।

इस प्रकार हम एक नियम खोजने का प्रयास करते हैं जो हमें पास्कल त्रिभुज की वे सभी पंक्तियाँ लिखे बिना, जो वांछित घातांक वाली पंक्ति से पहले आती हैं, किसी भी घात के लिए द्विपद का प्रसार ज्ञात करने में मदद करेगा।

इसके लिए, हम पास्कल त्रिभुज में संख्याओं को पुनः लिखने के लिए पहले पढ़े गए संचय (कॉम्बिनेशन) की अवधारणा का उपयोग करते हैं। हम जानते हैं कि ${ }^{n} C_r=\frac{n !}{r !(n-r) !}, 0 \leq r \leq n$ और $n$ एक ऋणेतर पूर्णांक है। साथ ही, ${ }^{n} C_0=1={ }^{n} C_n$ पास्कल त्रिभुज को अब इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है (चित्र 7.3)

चित्र 7.3 पास्कल त्रिभुज

इस प्रतिरूप का अवलोकन करते हुए, अब हम पहले की पंक्तियाँ लिखे बिना किसी भी घातांक के लिए पास्कल त्रिभुज की पंक्ति लिख सकते हैं। उदाहरण के लिए, घातांक 7 के लिए पंक्ति होगी

$$ { }^{7} C_0 \quad{ }^{7} C_1 \quad{ }^{7} C_2 \quad{ }^{7} C_3 \quad{ }^{7} C_4 \quad{ }^{7} C_5 \quad{ }^{7} C_6 \quad{ }^{7} C_7 $$

इस प्रकार, इस पंक्ति और प्रेक्षणों (i), (ii) और (iii) का उपयोग करके, हमारे पास है

$(a+b)^{7}={ }^{7} C_0 a^{7}+7 C_1 a^{6} b+{ }^{7} C_2 a^{5} b^{2}+{ }^{7} C_3 a^{4} b^{3}+7 C_4 a^{3} b^{4}+{ }^{7} C_5 a^{2} b^{5}+{ }^{7} C_6 a b^{6}+{ }^{7} C_7 b^{7}$

इन प्रेक्षणों का उपयोग करके अब किसी धनात्मक पूर्णांक घातांक मान लीजिए $n$ के लिए द्विपद के प्रसार की कल्पना की जा सकती है। अब हम किसी धनात्मक पूर्णांक घातांक के लिए द्विपद का प्रसार लिखने की स्थिति में हैं।

7.2.1 किसी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए द्विपद प्रमेय,

$ (a+b)^{n}={ }^{n} C_0 a^{n}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b+{ }^{n} C_2 a^{n-2} b^{2}+\ldots+{ }^{n} C _{n-1} a \cdot b^{n-1}+{ }^{n} C_n b^{n} $

प्रमाण प्रमाण गणितीय आगमन के सिद्धांत को लागू करके प्राप्त किया जाता है।

मान लीजिए दिया गया कथन है

$ P(n):(a+b)^{n}={ }^{n} C_0 a^{n}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b+{ }^{n} C_2 a^{n-2} b^{2}+\ldots+{ }^{n} C _{n-1} a \cdot b^{n-1}+{ }^{n} C_n b^{n} $

$n=1$ के लिए, हमारे पास है

$ P(1):(a+b)^{1}={ }^{1} C_0 a^{1}+{ }^{1} C_1 b^{1}=a+b $

इस प्रकार, $P(1)$ सत्य है।

मान लीजिए कुछ धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है, अर्थात

$ (a+b)^{k}={ }^{k} C_0 a^{k}+{ }^{k} C_1 a^{k-1} b+{ }^{k} C_2 a^{k-2} b^{2}+\ldots+{ }^{k} C_k b^{k} $

हम सिद्ध करेंगे कि $P(k+1)$ भी सत्य है, अर्थात,

$ (a+b)^{k+1}={ }^{k+1} C_0 a^{k+1}+{ }^{k+1} C_1 a^{k} b+{ }^{k+1} C_2 a^{k-1} b^{2}+\ldots+{ }^{k+1} C_{k+1} b^{k+1} $

अब, $(a+b)^{k+1}=(a+b)(a+b)^{k}$ $ =(a+b)({ }^{k} C_0 a^{k}+{ }^{k} C_1 a^{k-1} b+{ }^{k} C_2 a^{k-2} b^{2}+\ldots+{ }^{k} C_{k-1} a b^{k-1}+{ }^{k} C_k b^{k}) [\text{from}(1)] $ $={ }^{k} C_0 a^{k+1}+{ }^{k} C_1 a^{k} b+{ }^{k} C_2 a^{k-1} b^{2}+\ldots+{ }^{k} C _{k-1} a^{2} b^{k-1}+{ }^{k} C_k a b^{k}+{ }^{k} C_0 a^{k} b$ $+{ }^{k} C_1 a^{k-1} b^{2}+{ }^{k} C_2 a^{k-2} b^{3}+\ldots+{ }^{k} C _{k-1} a b^{k}+{ }^{k} C_k b^{k+1}$ [वास्तविक गुणा द्वारा] $={ }^{k} C_0 a^{k+1}+({ }^{k} C_1+{ }^{k} C_0) a^{k} b+({ }^{k} C_2+{ }^{k} C_1) a^{k-1} b^{2}+\ldots$ $+({ }^{k} C_k+{ }^{k} C _{k-1}) a b^{k}+{ }^{k} C_k b^{k+1} \quad$ [समान पदों को समूहित करके] $={ }^{k+1} C_0 a^{k+1}+{ }^{k+1} C_1 a^{k} b+{ }^{k+1} C_2 a^{k-1} b^{2}+\ldots+{ }^{k+1} C_k a b^{k}+{ }^{k+1} C _{k+1} b^{k+1}$ (${ }^{k+1} C_0=1,{ }^{k} C_r+{ }^{k} C _{r-1}={ }^{k+1} C_r \quad$ और $\quad{ }^{k} C_k=1={ }^{k+1} C _{k+1}$ का उपयोग करके)

इस प्रकार, यह सिद्ध हो गया है कि जब भी $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ सत्य है। अतः, गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा, प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $P(n)$ सत्य है।

हम इस प्रमेय को $(x+2)^{6}$ का प्रसार करके दर्शाते हैं:

$ \begin{aligned} (x+2)^{6} & ={ }^{6} C_0 x^{6}+{ }^{6} C_1 x^{5} \cdot 2+{ }^{6} C_2 x^{4} 2^{2}+{ }^{6} C_3 x^{3} \cdot 2^{3}+{ }^{6} C_4 x^{2} \cdot 2^{4}+{ }^{6} C_5 x \cdot 2^{5}+{ }^{6} C_6 \cdot 2^{6} . \\ & =x^{6}+12 x^{5}+60 x^{4}+160 x^{3}+240 x^{2}+192 x+64 \end{aligned} $

इस प्रकार $(x+2)^{6}=x^{6}+12 x^{5}+60 x^{4}+160 x^{3}+240 x^{2}+192 x+64$.

प्रेक्षण

1. संकेतन $\sum_{k=0}^{n}{ }^{n} C_k a^{n-k} b^{k}$ निरूपित करता है

${ }^{n} C_0 a^{n} b^{0}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b^{1}+\ldots+{ }^{n} C_r a^{n-r} b^{r}+\ldots+{ }^{n} C_n a^{n-n} b^{n}$, जहाँ $b^{0}=1=a^{n-n}$.

अतः प्रमेय को इस प्रकार भी कहा जा सकता है

$$ (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{ }^{n} \mathrm{C} _{k} a^{n-k} b^{k} $$

2. द्विपद प्रमेय में आने वाले गुणांक ${ }^{n} C_r$ द्विपद गुणांक के रूप में जाने जाते हैं।

3. $(a+b)^{n}$ के प्रसार में $(n+1)$ पद होते हैं, अर्थात, घातांक से एक अधिक।

4. प्रसार के क्रमिक पदों में $a$ का घातांक एक इकाई से घटता जाता है। यह पहले पद में $n$, दूसरे पद में $(n-1)$, और इसी तरह अंतिम पद में शून्य होता है। साथ ही $b$ का घातांक एक इकाई से बढ़ता जाता है, पहले पद में शून्य से आरंभ होकर, दूसरे में 1 और इसी तरह अंतिम पद में $n$ पर समाप्त होता है।

5. $(a+b)^{n}$ के प्रसार में, $a$ और $b$ के घातांकों का योग पहले पद में $n+0=n$, दूसरे पद में $(n-1)+1=n$ और इसी तरह अंतिम पद में $0+n=n$ होता है। इस प्रकार, यह देखा जा सकता है कि प्रसार के प्रत्येक पद में $a$ और $b$ के घातांकों का योग $n$ होता है।

7.2.2 कुछ विशेष स्थितियाँ

$(a+b)^{n}$ के प्रसार में,

(i) $a=x$ और $b=-y$ लेने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} (x-y)^{n} & =[x+(-y)]^{n} \\ & ={ }^{n} C_0 x^{n}+{ }^{n} C_1 x^{n-1}(-y)+{ }^{n} C_2 x^{n-2}(-y)^{2}+{ }^{n} C_3 x^{n-3}(-y)^{3}+\ldots+{ }^{n} C_n(-y)^{n} \\ & ={ }^{n} C_0 x^{n}-{ }^{n} C_1 x^{n-1} y+{ }^{n} C_2 x^{n-2} y^{2}-{ }^{n} C_3 x^{n-3} y^{3}+\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n y^{n} \end{aligned} $

इस प्रकार $(x-y)^{n}={ }^{n} C_0 x^{n}-{ }^{n} C_1 x^{n-1} y+{ }^{n} C_2 x^{n-2} y^{2}+\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n y^{n}$

इसका उपयोग करके, हमारे पास है $\quad(x-2 y)^{5}={ }^{5} C_0 x^{5}-{ }^{5} C_1 x^{4}(2 y)+{ }^{5} C_2 x^{3}(2 y)^{2}-{ }^{5} C_3 x^{2}(2 y)^{3}+$

$ \begin{aligned} & { }^{5} C_4 x(2 y)^{4}-{ }^{5} C_5(2 y)^{5} \\ = & x^{5}-10 x^{4} y+40 x^{3} y^{2}-80 x^{2} y^{3}+80 x y^{4}-32 y^{5} . \end{aligned} $

(ii) $a=1, b=x$ लेने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{gathered} (1+x)^{n}={ }^{n} C_0(1)^{n}+{ }^{n} C_1(1)^{n-1} x+{ }^{n} C_2(1)^{n-2} x^{2}+\ldots+{ }^{n} C_n x^{n} \\ ={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 x+{ }^{n} C_2 x^{2}+{ }^{n} C_3 x^{3}+\ldots+{ }^{n} C_n x^{n} \end{gathered} $

इस प्रकार $\quad(1+x)^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 x+{ }^{n} C_2 x^{2}+{ }^{n} C_3 x^{3}+\ldots+{ }^{n} C_n x^{n}$

विशेष रूप से, $x=1$ के लिए, हमारे पास है

$ 2^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1+{ }^{n} C_2+\ldots+{ }^{n} C_n $

(iii) $a=1, b=-x$ लेने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ (1-x)^{n}={ }^{n} C_0-{ }^{n} C_1 x+{ }^{n} C_2 x^{2}-\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n x^{n} $

विशेष रूप से, $x=1$ के लिए, हमें प्राप्त होता है

$ 0={ }^{n} C_0-{ }^{n} C_1+{ }^{n} C_2-\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n $

उदाहरण 1 $(x^{2}+\frac{3}{x})^{4}, x \neq 0$ का प्रसार कीजिए।

हल द्विपद प्रमेय का उपयोग करके, हमारे पास है

$ \begin{aligned} x^{2}+\frac{3}{x} & ={ }^{4} C_0(x^{2})^{4}+{ }^{4} C_1(x^{2})^{3}(\frac{3}{x})+{ }^{4} C_2(x^{2})^{2}(\frac{3}{x})^{2}+{ }^{4} C_3(x^{2})(\frac{3}{x})^{3}+{ }^{4} C_4(\frac{3}{x})^{4} \\ & =x^{8}+4 \cdot x^{6} \cdot \frac{3}{x}+6 \cdot x^{4} \cdot \frac{9}{x^{2}}+4 \cdot x^{2} \cdot \frac{27}{x^{3}}+\frac{81}{x^{4}} \\ & =x^{8}+12 x^{5}+54 x^{2}+\frac{108}{x}+\frac{81}{x^{4}} . \end{aligned} $

उदाहरण 2 $(98)^{5}$ की गणना कीजिए।

हल हम 98 को दो संख्याओं के योग या अंतर के रूप में व्यक्त करते हैं जिनकी घातें ज्ञात करना आसान है, और फिर द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हैं।

लिखिए $98=100-2$

अतः, $(98)^{5}=(100-2)^{5}$ $ \begin{aligned} = & { }^{5} C_0(100)^{5}-{ }^{5} C_1(100)^{4} .2+{ }^{5} C_2(100)^{3} 2^{2} \\ & -{ }^{5} C_3(100)^{2}(2)^{3}+{ }^{5} C_4(100)(2)^{4}-{ }^{5} C_5(2)^{5} \\ = & 10000000000-5 \times 100000000 \times 2+10 \times 1000000 \times 4-10 \times 10000 \\ & \times 8+5 \times 100 \times 16-32 \\ = & 10040008000-1000800032=9039207968 . \end{aligned} $

उदाहरण 3 कौन सा बड़ा है (1.01) ${ }^{1000000}$ या 10,000 ?

हल 1.01 को विभाजित करके और द्विपद प्रमेय का उपयोग करके प्रथम कुछ पद लिखने पर हमारे पास है

$ \begin{aligned} (1.01)^{1000000} & =(1+0.01)^{1000000} \\ & ={ }^{1000000} C_0+{ }^{1000000} C_1(0.01)+\text{ other positive terms } \\ & =1+1000000 \times 0.01+\text{ other positive terms } \\ & =1+10000+\text{ other positive terms } \\ & >10000 \end{aligned} $

अतः $\quad(1.01)^{1000000}>10000$

उदाहरण 4 द्विपद प्रमेय का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि $6^{n}-5 n$ को 25 से विभाजित करने पर सदैव शेषफल 1 प्राप्त होता है।

हल दो संख्याओं $a$ और $b$ के लिए यदि हम संख्याएँ $q$ और $r$ इस प्रकार ज्ञात कर सकते हैं कि $a=b q+r$, तो हम कहते हैं कि $b$, $a$ को विभाजित करता है जिसमें $q$ भागफल और $r$ शेषफल होता है। इस प्रकार, यह दर्शाने के लिए कि $6^{n}-5 n$ को 25 से विभाजित करने पर शेषफल 1 प्राप्त होता है, हम सिद्ध करते हैं कि $6^{n}-5 n=25 k+1$, जहाँ $k$ कोई प्राकृत संख्या है।

हमारे पास है

$ (1+a)^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 a+{ }^{n} C_2 a^{2}+\ldots+{ }^{n} C_n a^{n} $

$a=5$ के लिए, हमें प्राप्त होता है

$$ (1+5)^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 5+{ }^{n} C_2 5^{2}+\ldots+{ }^{n} C_n 5^{n} $$

अर्थात $$ \quad (6)^{n}=1+5 n+5^{2} \cdot{ }^{n} C_2+5^{3} \cdot{ }^{n} C_3+\ldots+5^{n} $$

अर्थात $$\quad 6^{n}-5 n=1+5^{2}({ }^{n} C_2+{ }^{n} C_3 5+\ldots+5^{n-2})$$

या $$\quad 6^{n}-5 n=1+25({ }^{n} C_2+5 \cdot{ }^{n} C_3+\ldots+5^{n-2})$$

या $$ \quad 6^{n}-5 n=25 k+1 \quad \text{ where } k={ }^{n} C_2+5 \cdot{ }^{n} C_3+\ldots+5^{n-2} $$

यह दर्शाता है कि जब $25,6^{n}-5 n$ से विभाजित किया जाता है तो शेषफल 1 प्राप्त होता है।

सारांश

• किसी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए द्विपद का प्रसार द्विपद प्रमेय द्वारा दिया जाता है, जो है $(a+b)^{n}={ }^{n} C_0 a^{n}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b+{ }^{n} C_2 a^{n-2} b^{2}+\ldots+$ ${ }^{n} C _{n-1} a \cdot b^{n-1}+{ }^{n} C_n b^{n}$

• प्रसारों के गुणांकों को एक सारणी में व्यवस्थित किया जाता है। इस सारणी को पास्कल त्रिभुज कहा जाता है।

ऐतिहासिक पृष्ठभूमि

प्राचीन भारतीय गणितज्ञ $(x+y)^{n}, 0 \leq n \leq 7$ के प्रसारों में गुणांकों के बारे में जानते थे। इन गुणांकों की व्यवस्था मेरु-प्रस्तार नामक एक आरेख के रूप में थी, जो पिंगल ने अपनी पुस्तक छंद शास्त्र (200 ई.पू.) में दी थी। इस त्रिभुजीय व्यवस्था चीनी गणितज्ञ चू-शी-किए के 1303 के कार्य में भी पाई जाती है। द्विपद गुणांक शब्द का प्रयोग सर्वप्रथम जर्मन गणितज्ञ माइकल स्टीपेल (1486-1567) ने लगभग 1544 में किया था। बॉम्बेली (1572) ने भी $(a+b)^{n}$ के प्रसार में गुणांक दिए, $n=1,2 \ldots, 7$ के लिए और ओघट्रेड (1631) ने $n=1,2, \ldots, 10$ के लिए दिए। अंकगणितीय त्रिभुज, जिसे लोकप्रिय रूप से पास्कल त्रिभुज के नाम से जाना जाता है और जो पिंगल के मेरुप्रस्तार के समान है, का निर्माण फ्रांसीसी गणितज्ञ ब्लेज़ पास्कल (1623-1662) ने 1665 में किया था।

$n$ के पूर्णांक मानों के लिए द्विपद प्रमेय का वर्तमान रूप ट्रेट डू ट्रिएंगे अरिथमेटिक में प्रकट हुआ, जिसे पास्कल ने लिखा था और मरणोपरांत 1665 में प्रकाशित हुआ था।