8.1 भूमिका

गणित में, “अनुक्रम” शब्द का प्रयोग लगभग उसी प्रकार किया जाता है जैसे साधारण अंग्रेजी में। जब हम कहते हैं कि वस्तुओं का एक संग्रह एक अनुक्रम में सूचीबद्ध है, तो हमारा आमतौर पर अर्थ यह होता है कि संग्रह को इस प्रकार क्रमित किया गया है कि उसका एक पहचाना हुआ पहला सदस्य, दूसरा सदस्य, तीसरा सदस्य और इसी प्रकार आगे हो। उदाहरण के लिए, विभिन्न समयों पर मनुष्यों या जीवाणुओं की जनसंख्या एक अनुक्रम बनाती है। कई वर्षों में बैंक में जमा धनराशि एक अनुक्रम बनाती है। किसी वस्तु के मूल्यह्रासित मूल्य एक अनुक्रम में होते हैं। अनुक्रमों का मानवीय गतिविधियों के कई क्षेत्रों में महत्वपूर्ण अनुप्रयोग होते हैं।

विशिष्ट प्रतिरूपों का अनुसरण करने वाले अनुक्रमों को श्रेणी कहा जाता है। पिछली कक्षा में, हमने समांतर श्रेणी (A.P.) के बारे में अध्ययन किया है। इस अध्याय में, A.P. के बारे में और अधिक चर्चा करने के अलावा; समांतर माध्य, गुणोत्तर माध्य, A.M. और G.M. के बीच संबंध, क्रमागत प्राकृत संख्याओं के $n$ पदों तक के योग, प्राकृत संख्याओं के वर्गों के $n$ पदों तक के योग और प्राकृत संख्याओं के घनों के $n$ पदों तक के योग के रूप में विशेष श्रेणियों का भी अध्ययन किया जाएगा।

8.2 अनुक्रम

आइए निम्नलिखित उदाहरणों पर विचार करें:

मान लीजिए कि पीढ़ियों के बीच 30 वर्ष का अंतराल है, हमें 300 वर्षों में किसी व्यक्ति के पूर्वजों, अर्थात् माता-पिता, दादा-दादी, परदादा-परदादी, आदि की संख्या ज्ञात करने के लिए कहा गया है।

यहाँ, पीढ़ियों की कुल संख्या $=\frac{300}{30}=10$

पहली, दूसरी, तीसरी, …, दसवीं पीढ़ी के लिए व्यक्ति के पूर्वजों की संख्या $2,4,8,16,32, \ldots, 1024$ है। ये संख्याएँ वह बनाती हैं जिसे हम एक अनुक्रम कहते हैं।

10 को 3 से भाग देने की विभाजन की विभिन्न अवस्थाओं में हमें प्राप्त होने वाले क्रमागत भागफलों पर विचार कीजिए। इस प्रक्रिया में हमें $3,3.3,3.33,3.333, \ldots$ और इसी प्रकार आगे प्राप्त होते हैं। ये भागफल भी एक अनुक्रम बनाते हैं। एक अनुक्रम में आने वाली विभिन्न संख्याओं को उसके पद कहा जाता है। हम एक अनुक्रम के पदों को $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$, आदि से निरूपित करते हैं, पादांक पद की स्थिति को दर्शाते हैं। $n^{\text{th }}$ पद अनुक्रम के $n^{\text{th }}$ स्थान पर की संख्या है और इसे $a_n$ से निरूपित किया जाता है। $n^{\text{th }}$ पद को अनुक्रम का सामान्य पद भी कहा जाता है।

इस प्रकार, ऊपर वर्णित व्यक्ति के पूर्वजों के अनुक्रम के पद हैं:

$$ a_1=2, a_2=4, a_3=8, \ldots, a _{10}=1024 $$

इसी प्रकार, क्रमागत भागफलों के उदाहरण में

$$ a_1=3, a_2=3.3, a_3=3.33, \ldots, a_6=3.33333 \text{, etc. } $$

परिमित संख्या में पदों वाले अनुक्रम को परिमित अनुक्रम कहा जाता है। उदाहरण के लिए, पूर्वजों का अनुक्रम एक परिमित अनुक्रम है क्योंकि इसमें 10 पद (एक निश्चित संख्या) हैं।

एक अनुक्रम को अनंत कहा जाता है, यदि वह एक परिमित अनुक्रम नहीं है। उदाहरण के लिए, ऊपर वर्णित क्रमागत भागफलों का अनुक्रम एक अनंत अनुक्रम है, इस अर्थ में अनंत कि यह कभी समाप्त नहीं होता।

अक्सर, एक अनुक्रम के विभिन्न पदों को उत्पन्न करने वाले नियम को बीजगणितीय सूत्र के रूप में व्यक्त करना संभव होता है। उदाहरण के लिए, सम प्राकृत संख्याओं के अनुक्रम $2,4,6, \ldots$ पर विचार कीजिए।

$ \begin{aligned} & \text{ यहाँ } \quad a_1=2=2 \times 1 \quad a_2=4=2 \times 2 \\ & a_3=6=2 \times 3 \quad a_4=8=2 \times 4 \\ &\ldots & \ldots . & \ldots . & \ldots . & \ldots . & \ldots\\ & a _{23}=46=2 \times 23, a _{24}=48=2 \times 24 \text{, और इसी प्रकार आगे। } \end{aligned} $

वास्तव में, हम देखते हैं कि इस अनुक्रम का $n^{\text{th }}$ पद $a_n=2 n$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ $n$ एक प्राकृत संख्या है। इसी प्रकार, विषम प्राकृत संख्याओं के अनुक्रम $1,3,5, \ldots$ में, $n^{\text{th }}$ पद सूत्र $a_n=2 n-1$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $n$ एक प्राकृत संख्या है। कुछ मामलों में, संख्याओं की व्यवस्था जैसे $1,1,2,3,5,8, .$ का कोई दृश्य प्रतिरूप नहीं होता, लेकिन अनुक्रम पुनरावृत्ति संबंध द्वारा उत्पन्न होता है जो निम्नलिखित द्वारा दिया गया है:

$$ \begin{aligned} & a_1=a_2=1 \\ & a_3=a_1+a_2 \\ & a_n=a _{n-2}+a _{n-1}, n>2 \end{aligned} $$

इस अनुक्रम को फाइबोनैचि अनुक्रम कहा जाता है।

अभाज्य संख्याओं के अनुक्रम $2,3,5,7, \ldots$ में, हम पाते हैं कि $n^{\text{th }}$ अभाज्य संख्या के लिए कोई सूत्र नहीं है। ऐसे अनुक्रम को केवल मौखिक विवरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

प्रत्येक अनुक्रम में, हमें यह अपेक्षा नहीं करनी चाहिए कि इसके पद आवश्यक रूप से किसी विशिष्ट सूत्र द्वारा दिए जाएंगे। हालाँकि, हम पदों $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$ को क्रमिक रूप से उत्पन्न करने के लिए एक सैद्धांतिक योजना या नियम की अपेक्षा करते हैं।

उपरोक्त के आलोक में, एक अनुक्रम को एक फलन के रूप में माना जा सकता है जिसका प्रांत प्राकृत संख्याओं का समुच्चय या उसका कोई उपसमुच्चय है। कभी-कभी, हम $a_n$ के लिए फलनात्मक संकेतन a(n) का उपयोग करते हैं।

8.3 श्रेणी

मान लीजिए $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$, एक दिया गया अनुक्रम है। तब, व्यंजक $ a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n+\ldots $ दिए गए अनुक्रम से संबद्ध श्रेणी कहलाता है। श्रेणी परिमित या अनंत होती है जैसा कि दिया गया अनुक्रम परिमित या अनंत है। श्रेणियों को प्रायः संक्षिप्त रूप में, सिग्मा संकेतन का उपयोग करके, योग को इंगित करने के साधन के रूप में ग्रीक अक्षर $\sum$ (सिग्मा) का उपयोग करके निरूपित किया जाता है। इस प्रकार, श्रेणी $a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n$ को संक्षिप्त रूप में $\sum_{k=1}^{n} a_k$ के रूप में लिखा जाता है।

टिप्पणी जब श्रेणी शब्द का प्रयोग किया जाता है, तो यह इंगित किए गए योग को संदर्भित करता है, योग स्वयं को नहीं। उदाहरण के लिए, $1+3+5+7$ चार पदों वाली एक परिमित श्रेणी है। जब हम “श्रेणी का योग” वाक्यांश का उपयोग करते हैं, तो हमारा अर्थ उस संख्या से होगा जो पदों को जोड़ने से प्राप्त होती है, श्रेणी का योग 16 है।

अब हम कुछ उदाहरणों पर विचार करते हैं।

उदाहरण 1 निम्नलिखित में से प्रत्येक में परिभाषित अनुक्रमों के पहले तीन पद लिखिए:

(i) $a_n=2 n+5$,

(ii) $a_n=\frac{n-3}{4}$.

हल (i) यहाँ $a_n=2 n+5$

$n=1,2,3$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है $ a_1=2(1)+5=7, a_2=9, a_3=11 $

अतः, अभीष्ट पद 7, 9 और 11 हैं।

(ii) यहाँ $a_n=\frac{n-3}{4}$। इस प्रकार, $a_1=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}, a_2=-\frac{1}{4}, a_3=0$

अतः, पहले तीन पद $-\frac{1}{2},-\frac{1}{4}$ और 0 हैं।

उदाहरण 2 अनुक्रम का $20^{\text{th }}$ पद क्या है जो निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है: $ a_n=(n-1)(2-n)(3+n) ? $ हल $n=20$ रखने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \begin{aligned} a _{20} & =(20-1)(2-20)(3+20) \\ & =19 \times(-18) \times(23) \\ &
=-7866 . \end{aligned} $$

उदाहरण 3 मान लीजिए अनुक्रम $a_n$ निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:

$$ a_1=1, a_n=a _{n-1}+2 \text{ for } n \geq 2 \text{. } $$

पहले पाँच पद ज्ञात कीजिए और संगत श्रेणी लिखिए।

हल हमारे पास है

$ \begin{aligned} & a_1=1, a_2=a_1+2=1+2=3, a_3=a_2+2=3+2=5, \\ & a_4=a_3+2=5+2=7, a_5=a_4+2=7+2=9 . \end{aligned} $

अतः, अनुक्रम के पहले पाँच पद $1,3,5,7$ और 9 हैं। संगत श्रेणी $1+3+5+7+9+\ldots$ है

8.4 गुणोत्तर श्रेणी (G. P.)

आइए निम्नलिखित अनुक्रमों पर विचार करें:

(i) $2,4,8,16, \ldots$,

(ii) $\frac{1}{9}, \frac{-1}{27}, \frac{1}{81}, \frac{-1}{243}$

(iii) $.01, .0001, .000001, \ldots$

इनमें से प्रत्येक अनुक्रम में, इनके पद कैसे आगे बढ़ते हैं? हम ध्यान देते हैं कि प्रत्येक पद, पहले को छोड़कर, एक निश्चित क्रम में आगे बढ़ता है।

(i) में, हमारे पास $a_1=2, \frac{a_2}{a_1}=2, \frac{a_3}{a_2}=2, \frac{a_4}{a_3}=2$ और इसी प्रकार आगे है।

(ii) में, हम देखते हैं, $a_1=\frac{1}{9}, \frac{a_2}{a_1}=\frac{1}{3}, \frac{a_3}{a_2}=\frac{1}{3}, \frac{a_4}{a_3}=\frac{1}{3}$ और इसी प्रकार आगे है।

इसी प्रकार, बताइए कि (iii) में पद कैसे आगे बढ़ते हैं? यह देखा गया है कि प्रत्येक स्थिति में, प्रत्येक पद, पहले पद को छोड़कर, उसके ठीक पहले वाले पद से एक नियत अनुपात रखता है। (i) में, यह नियत अनुपात 2 है; (ii) में, यह $-\frac{1}{3}$ है और (iii) में, नियत अनुपात 0.01 है। ऐसे अनुक्रमों को गुणोत्तर अनुक्रम या गुणोत्तर श्रेणी कहा जाता है, जिसे संक्षिप्त में G.P. लिखा जाता है।

एक अनुक्रम $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$ गुणोत्तर श्रेणी कहलाता है, यदि प्रत्येक पद शून्येतर है और $\frac{a_{k+1}}{a_k}=r$ (नियतांक), $k \geq 1$ के लिए।

$a_1=a$ मानकर, हम एक गुणोत्तर श्रेणी प्राप्त करते हैं, $a, a r, a r^{2}, a r^{3}, \ldots$, जहाँ $a$ को पहला पद कहा जाता है और $r$ को G.P. का सार्व अनुपात कहा जाता है। उपरोक्त गुणोत्तर श्रेणी (i), (ii) और (iii) में सार्व अनुपात क्रमशः $2,-\frac{1}{3}$ और 0.01 हैं।

जैसा कि समांतर श्रेणी के मामले में होता है, बड़ी संख्या में पदों वाली गुणोत्तर श्रेणी के $n^{\text{th }}$ पद या $n$ पदों का योग ज्ञात करने की समस्या उन सूत्रों के उपयोग के बिना कठिन होगी जिन्हें हम अगले अनुभाग में विकसित करेंगे। हम इन सूत्रों के साथ निम्नलिखित संकेतनों का उपयोग करेंगे:

$ \begin{aligned} & a=\text{ पहला पद, } r=\text{ सार्व अनुपात, } l=\text{ अंतिम पद, } \\ & n=\text{ पदों की संख्या, } \\ & S_n=\text{ पहले } n \text{ पदों का योग। } \end{aligned} $

8.4.1 $a$ G.P. का सामान्य पद

आइए हम पहले शून्येतर पद ‘$a$’ और सार्व अनुपात ‘$r$’ वाली एक G.P. पर विचार करें। इसके कुछ पद लिखिए। दूसरा पद $a$ को $r$ से गुणा करके प्राप्त किया जाता है, इस प्रकार $a_2=a r$। इसी प्रकार, तीसरा पद $a_2$ को $r$ से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। इस प्रकार, $a_3=a_2 r=a r^{2}$, और इसी प्रकार आगे।

हम इन्हें और कुछ और पदों को नीचे लिखते हैं।

$1^{\text{st }}$ पद $=a_1=a=a r^{1-1}, 2^{\text{nd }}$ पद $=a_2=a r=a r^{2-1}, 3^{\text{rd }}$ पद $=a_3=a r^{2}=a r^{3-1}$ $4^{\text{th }}$ पद $=a_4=a r^{3}=a r^{4-1}, 5^{\text{th }}$ पद $=a_5=a r^{4}=a r^{5-1}$

क्या आपको कोई प्रतिरूप दिखाई देता है? $16^{\text{th }}$ पद क्या होगा?

$$ a _{16}=a r^{16-1}=a r^{15} $$

इसलिए, प्रतिरूप सुझाता है कि G.P. का $n^{\text{th }}$ पद $a_n=a r^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है। इस प्रकार, $a$, G.P. को क्रमशः $a, a r, a r^{2}, a r^{3}, \ldots a r^{n-1} ; a, a r, a r^{2}, \ldots, a r^{n-1} \ldots ;$ के रूप में लिखा जा सकता है, यह इस पर निर्भर करता है कि G.P. परिमित है या अनंत। श्रेणी $a+a r+a r^{2}+\ldots+a r^{n-1}$ या $a+a r+a r^{2}+\ldots+a r^{n-1}+\ldots$ को क्रमशः परिमित या अनंत गुणोत्तर श्रेणी कहा जाता है।

8.4.2. $n$ G.P. के $a$ पदों तक का योग

मान लीजिए एक G.P. का पहला पद $a$ है और सार्व अनुपात $r$ है। आइए हम G.P. के पहले $n$ पदों के योग को $S_n$ से निरूपित करें। तब

$$ S_n=a+a^{n}+a r^{2}+\ldots+a r^{n-1} \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $$

स्थिति 1 यदि $r=1$, हमारे पास $S_n=a+a+a+\ldots+a(n$ पद $)=n a$ हैं

स्थिति 2 यदि $r \neq 1$, (1) को $r$ से गुणा करने पर, हमारे पास है

$$ r S_n=a r+a r^{2}+a r^{3}+\ldots+a r^{n} \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $$

(2) को (1) से घटाने पर, हमें प्राप्त होता है $$(1-r) S_n=a-a r^{n}=a(1-r^{n})$$

यह देता है

$$ \mathrm{S} n=\frac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r} \text { or } \mathrm{S} _{n}=\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1} $$

उदाहरण 4 G.P. $5,25,125, \ldots$ का $10^{\text{th }}$ और $n^{\text{th }}$ पद ज्ञात कीजिए।

हल यहाँ $a=5$ और $r=5$। इस प्रकार, $a _{10}=5(5)^{10-1}=5(5)^{9}=5^{10}$ और $a_n=a r^{n-1}=5(5)^{n-1}=5^{n}$।

उदाहरण 5 G.P., 2,8,32,… का कौन सा पद $n$ पदों तक 131072 है?

हल मान लीजिए 131072 दी गई G.P. का $n^{\text{th }}$ पद है। यहाँ $a=2$ और $r=4$।

इसलिए $\quad 131072=a_n=2(4)^{n-1}$ या $65536=4^{n-1}$

यह देता है $\quad 4^{8}=4^{n-1}$।

अतः $n-1=8$, अर्थात्, $n=9$। अतः, 131072 G.P. का $9^{\text{th }}$ पद है।

उदाहरण 6 एक G.P. में, $3^{\text{rd }}$ पद 24 है और $6^{\text{th }}$ पद 192 है। $10^{\text{th }}$ पद ज्ञात कीजिए।

हल यहाँ, $a_3=a r^{2}=24 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1)$

और $ \quad \quad a_6=a r^{5}=192 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $

(2) को (1) से भाग देने पर, हमें प्राप्त होता है $r=2$। (1) में $r=2$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है $a=6$।

अतः $a _{10}=6(2)^{9}=3072$।

उदाहरण 7 गुणोत्तर श्रेणी $1+\frac{2}{3}+\frac{4}{9}+\ldots$ के पहले $n$ पदों का योग और पहले 5 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

हल यहाँ $a=1$ और $r=\frac{2}{3}$। इसलिए

$$ S_n=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}=\frac{[1-(\frac{2}{3})^{n}]}{1-\frac{2}{3}}=3[1-(\frac{2}{3})^{n}] $$

विशेष रूप से, $\quad S_5=3[1-(\frac{2}{3})^{5}]=3 \times \frac{211}{243}=\frac{211}{81}$।

उदाहरण 8 G.P. $3, \frac{3}{2}, \frac{3}{4}, \ldots$ के कितने पदों की आवश्यकता है ताकि योग $sum \frac{3069}{512} ?$ प्राप्त हो?

हल मान लीजिए $n$ आवश्यक पदों की संख्या है। दिया गया है कि $a=3, r=\frac{1}{2}$ और $S_n=\frac{3069}{512}$

चूँकि $ \quad \quad \quad S_n=\frac{a(1-r^{n})}{1-r} $

इसलिए $ \quad \quad \quad \frac{3069}{512}=\frac{3(1-\frac{1}{2^{n}})}{1-\frac{1}{2}}=6(1-\frac{1}{2^{n}}) $

या $ \quad \quad \quad \frac{3069}{3072}=1-\frac{1}{2^{n}} $

या $\quad \quad \quad \frac{1}{2^{n}} =1-\frac{3069}{3072}=\frac{3}{3072}=\frac{1}{1024}$

या $\quad \quad \quad2^{n} =1024=2^{10}, \text{ which gives } n=10$

उदाहरण 9 एक G.P. के पहले तीन पदों का योग $\frac{13}{12}$ है और उनका गुणनफल -1 है। सार्व अनुपात और पद ज्ञात कीजिए।

हल मान लीजिए $\frac{a}{r}, a$, ar G.P. के पहले तीन पद हैं। तब

$$ \frac{a}{r}+a r+a=\frac{13}{12} \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $$

और $\quad(\frac{a}{r})(a)(a r)=-1 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $

(2) से, हमें प्राप्त होता है $a^{3}=-1$, अर्थात्, $a=-1$ (केवल वास्तविक मूलों पर विचार करते हुए)

(1) में $a=-1$ प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास है

$$ -\frac{1}{r}-1-r=\frac{13}{12} \text{ or } 12 r^{2}+25 r+12=0 \text{. } $$

यह $r$ में एक द्विघात समीकरण है, हल करने पर, हमें प्राप्त होता है $r=-\frac{3}{4}$ या $-\frac{4}{3}$।

इस प्रकार, G.P. के तीन पद हैं: $\frac{4}{3},-1, \frac{3}{4}$, $r=\frac{-3}{4}$ के लिए और $\frac{3}{4},-1, \frac{4}{3}$, $r=\frac{-4}{3}$ के लिए।

उदाहरण10 अनुक्रम 7, 77, 777, 7777, … के $n$ पदों तक का योग ज्ञात कीजिए।

हल यह एक G.P. नहीं है, हालाँकि, हम इसे एक G.P. से संबंधित कर सकते हैं पदों को इस प्रकार लिखकर:

$ S_n=7+77+777+7777+\ldots \text{ to } n \text{ terms } $ $ \begin{aligned} & =\frac{7}{9}[9+99+999+9999+\ldots \text{ to } n \text{ term }] \\ & =\frac{7}{9}[(10-1)+(10^{2}-1)+(10^{3}-1)+(10^{4}-1)+\ldots n \text{ terms }] \\ & =\frac{7}{9}[(10+10^{2}+10^{3}+\ldots n \text{ terms })-(1+1+1+\ldots n \text{ terms })] \\ & =\frac{7}{9} \left[ \frac{10(10^{n}-1)}{10-1}-n\right]=\frac{7}{9}\left[\frac{10(10^{n}-1)}{9}-n \right] . \end{aligned} $

उदाहरण 11 एक व्यक्ति के 2 माता-पिता, 4 दादा-दादी, 8 परदादा-परदादी, और इसी प्रकार आगे होते हैं। उसके अपनी पीढ़ी से पहले की दस पीढ़ियों के दौरान उसके पूर्वजों की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल यहाँ $a=2, r=2$ और $n=10$

योग सूत्र $\quad S_n=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}$ का उपयोग करने पर

हमारे पास है $ \quad\quad\quad\quad S_{10}=2(2^{10}-1)=2046 $

अतः, व्यक्ति से पहले के पूर्वजों की संख्या 2046 है।

8.4.3 गुणोत्तर माध्य (G.M.)

दो धनात्मक संख्याओं $a$ और $b$ का गुणोत्तर माध्य संख्या $\sqrt{a b}$ है। इसलिए, 2 और 8 का गुणोत्तर माध्य 4 है। हम देखते हैं कि तीन संख्याएँ $2,4,8$ एक G.P. के क्रमागत पद हैं। यह दो संख्याओं के गुणोत्तर माध्यों की अवधारणा के सामान्यीकरण की ओर ले जाता है।

किन्हीं दो धनात्मक संख्याओं $a$ और $b$ को देखते हुए, हम उनके बीच जितनी चाहें उतनी संख्याएँ सम्मिलित कर सकते हैं ताकि परिणामी अनुक्रम एक G.P. में हो।

मान लीजिए $G_1, G_2, \ldots, G_n$ धनात्मक संख्याओं $a$ और $b$ के बीच की $n$ संख्याएँ हैं जैसे कि $a, G_1, G_2, G_3, \ldots, G_n, b$ एक G.P. है। इस प्रकार, $b$, $(n+2)^{\text{th }}$ पद होने के कारण, हमारे पास है

$ b=a r^{n+1}, \quad \text{ या } \quad r=(\frac{b}{a})^{\frac{1}{n+1}} \text{. } $

अतः $G_1=a r=a(\frac{b}{a})^{\frac{1}{n+1}}, G_2=a r^{2}=a(\frac{b}{a})^{\frac{2}{n+1}}, G_3=a r^{3}=a(\frac{b}{a})^{\frac{3}{n+1}}$,

$$ G_n=a r^{n}=a(\frac{b}{a})^{\frac{n}{n+1}} $$

उदाहरण12 1 और 256 के बीच तीन संख्याएँ सम्मिलित कीजिए ताकि परिणामी अनुक्रम एक G.P. हो।

हल मान लीजिए $G_1, G_2, G_3$ 1 और 256 के बीच तीन संख्याएँ हैं जैसे कि $1, G_1, G_2, G_3, 256$ एक G.P. है।

इसलिए $\quad 256=r^{4}$ देता है $r= \pm 4$ (केवल वास्तविक मूल लेते हुए)

$r=4$ के लिए, हमारे पास $G_1=a r=4, G_2=a r^{2}=16, G_3=a r^{3}=64$ है

इसी प्रकार, $r=-4$ के लिए, संख्याएँ $-4,16$ और -64 हैं।

अतः, हम 1 और 256 के बीच 4, 16, 64 सम्मिलित कर सकते हैं ताकि परिणामी अनुक्रम G.P. में हों।

8.5 A.M. और G.M. के बीच संबंध

मान लीजिए $A$ और $G$ दो दी गई धनात्मक वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ के क्रमशः A.M. और G.M. हैं। तब

$$ A=\frac{a+b}{2} \text{ and } G=\sqrt{a b} $$

इस प्रकार, हमारे पास है

$ \begin{aligned} A-G & =\frac{a+b}{2}-\sqrt{a b}=\frac{a+b-2 \sqrt{a b}}{2} \\ & =\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}}{2} \geq 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) \end{aligned} $

(1) से, हमें संबंध $A \geq G$ प्राप्त होता है।

उदाहरण 13 यदि दो धनात्मक संख्याओं $a$ और $b$ के A.M. और G.M. क्रमशः 10 और 8 हैं, तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

हल दिया गया है कि A.M. $=\frac{a+b}{2}=10 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1)$

और $ \text{ G.M. }=\sqrt{a b}=8 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $

(1) और (2) से, हमें प्राप्त होता है

$$ \begin{aligned} & a+b=20 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (3)\\ & a b=64 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (4) \end{aligned} $$

(3), (4) से $a$ और $b$ का मान सर्वसमिका $(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4 a b$ में रखने पर, हमें प्राप्त होता है

$$(a-b)^{2}=400-256=144$$

या $\quad \quad \quad a-b= \pm 12 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (5)$

(3) और (5) को हल करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ a=4, b=16 \text{ or } a=16, b=4 $$

इस प्रकार, संख्याएँ $a$ और $b$ क्रमशः 4,16 या 16,4 हैं।

विविध उदाहरण

उदाहरण 14 यदि $a, b, c, d$ और $p$ भिन्न वास्तविक संख्याएँ हैं जैसे कि $(a^{2}+b^{2}+c^{2}) p^{2}-2(a b+b c+c d) p+(b^{2}+c^{2}+d^{2}) \leq 0$, तो दर्शाइए कि $a, b, c$ और $d$ G.P. में हैं।

हल दिया गया है कि

$ (a^{2}+b^{2}+c^{2}) p^{2}-2(a b+b c+c d) p+(b^{2}+c^{2}+d^{2}) \leq 0 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $

लेकिन बायाँ पक्ष

$ =(a^{2} p^{2}-2 a b p+b^{2})+(b^{2} p^{2}-2 b c p+c^{2})+(c^{2} p^{2}-2 c d p+d^{2}), $

जो देता है $(a p-b)^{2}+(b p-c)^{2}+(c p-d)^{2} \geq 0 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2)$

चूँकि वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग अऋणात्मक होता है, इसलिए, (1) और (2) से, हमारे पास है, $\quad(a p-b)^{2}+(b p-c)^{2}+(c p-d)^{2}=0$

या

$ a p-b=0, b p-c=0, c p-d=0 $

इसका तात्पर्य है कि $\frac{b}{a}=\frac{c}{b}=\frac{d}{c}=p$

अतः $a, b, c$ और $d$ G.P. में हैं।

सारांश

एक अनुक्रम से, हमारा तात्पर्य किसी नियम के अनुसार निश्चित क्रम में संख्याओं की व्यवस्था से है। साथ ही, हम एक अनुक्रम को एक फलन के रूप में परिभाषित करते हैं जिसका प्रांत प्राकृत संख्याओं का समुच्चय या ${1,2,3, \ldots . k}$ प्रकार के कुछ उपसमुच्चय हैं। परिमित संख्या में पदों वाले अनुक्रम को परिमित अनुक्रम कहा जाता है। एक अनुक्रम को अनंत कहा जाता है यदि वह एक परिमित अनुक्रम नहीं है।

मान लीजिए $a_1, a_2, a_3, \ldots$ अनुक्रम है, तब योग जिसे $a_1+a_2+a_3+\ldots$ के रूप में व्यक्त किया जाता है, श्रेणी कहलाता है। एक श्रेणी को परिमित श्रेणी कहा जाता है यदि इसमें परिमित संख्या में पद हैं।

एक अनुक्रम को गुणोत्तर श्रेणी या G.P. कहा जाता है, यदि किसी पद का उसके पूर्ववर्ती पद से अनुपात पूरे अनुक्रम में समान हो। इस नियत गुणनखंड को सार्व अनुपात कहा जाता है। प्रायः, हम एक G.P. के पहले पद को $a$ से और उसके सार्व अनुपात को $r$ से निरूपित करते हैं। G.P. का सामान्य या $n^{\text{th }}$ पद $a_n=a r^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।

G.P. के पहले $n$ पदों का योग $S_n$, $\mathrm{S} _{n}=\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}$ या $\frac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$ द्वारा दिया जाता है यदि $r \neq 1$

किन्हीं दो धनात्मक संख्याओं $a$ और $b$ का गुणोत्तर माध्य (G.M.) $\sqrt{a b}$ द्वारा दिया जाता है अर्थात् अनुक्रम $a, G, b$ G.P. है।

ऐतिहासिक पृष्ठभूमि

साक्ष्य मिलता है क