ज्यामिति, तार्किक प्रणाली के रूप में, बच्चों को उनके खुद के आत्मविश्वास के साथ मानवीय आत्मा की शक्ति को महसूस करने का एक साधन और यहाँ तक कि सबसे शक्तिशाली साधन है। - एच. फ्रॉयडेंटाल

9.1 परिचय

हम पिछले वर्गों से द्वि-आयामी निर्देशांक ज्यामिति से परिचित हैं। मुख्य रूप से, यह बीजगणित और ज्यामिति का एक संयोजन है। बीजगणित का उपयोग करके ज्यामिति का प्रणालीगत अध्ययन प्रसिद्ध फ्रांसीसी दार्शनिक और गणितज्ञ रेने डेकार्ट्स द्वारा पहले किया गया था, जिन्होंने 1637 में अपनी पुस्तक ‘ला जियोमेट्री’ में इसका प्रकाशन किया था। इस पुस्तक ने एक वक्र की समीकरण के अवधारणा और ज्यामिति के अध्ययन में संबंधित विश्लेषणात्मक विधियों को पेश किया। विश्लेषण और ज्यामिति के परिणामस्वरूप संयोजन अब विश्लेषणात्मक ज्यामिति के रूप में जाना जाता है। पिछले वर्गों में, हमने निर्देशांक ज्यामिति का अध्ययन शुरू किया था, जहाँ हमने निर्देशांक अक्षों, निर्देशांक प्लेन, एक प्लेन में बिंदुओं का आलेखन, दो बिंदुओं के बीच दूरी, अनुपात सूत्र आदि के बारे में अध्ययन किया था। सभी इन अवधारणाओं के निर्देशांक ज्यामिति के आधारभूत हैं।

चलिए, पिछले वर्गों में किया गया निर्देशांक ज्यामिति का एक संक्षिप्त याद करते हैं। फिर भी, XY-प्लेन में बिंदु $(6,-4)$ और $(3,0)$ का स्थान आकृति 9.1 में दिखाया गया है।

आकृति 9.1

हम देख सकते हैं कि बिंदु $(6,-4)$ $y$-अक्ष से धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में 6 इकाइयों की दूरी पर है और $x$-अक्ष से नकारात्मक $y$-अक्ष की दिशा में 4 इकाइयों की दूरी पर है। इसी प्रकार, बिंदु $(3,0)$ $y$-अक्ष से धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में 3 इकाइयों की दूरी पर है और $x$-अक्ष से शून्य दूरी पर है। सूत्र:

हमने यहाँ अगले महत्वपूर्ण सूत्रों का भी अध्ययन किया:

I. बिंदु $P(x_1, y_1)$ और $Q(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी

$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}} $

उदाहरण के लिए, बिंदु $(6,-4)$ और $(3,0)$ के बीच की दूरी

$$ \sqrt{(3-6)^{2}+(0+4)^{2}}=\sqrt{9+16}=5 \text{ units. } $$

II. बिंदु $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच जुड़े एक रेखा के अंतर्गत, अनुपात $m: n$ में विभाजित एक बिंदु के निर्देशांक $(\frac{m x_2+n x_1}{m+n}, \frac{m y_2+n y_1}{m+n})$ हैं।

उदाहरण के लिए, उस बिंदु के निर्देशांक जो बिंदु A $(1,-3)$ और $B(-3,9)$ के बीच जुड़ी रेखा के अंतर्गत, अनुपात $1: 3$ में विभाजित करता है, $x=\frac{1 .(-3)+3.1}{1+3}=0$ $\text{ and } y=\frac{1.9+3 \cdot(-3)}{1+3}=0$ द्वारा दिए गए हैं।

III. विशेष रूप से, $m=n$ के लिए, बिंदु $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच जुड़ी रेखा के मध्यबिंदु के निर्देशांक $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$ हैं।

IV. $(x _{1,} y_1),(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ के शीर्षक वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल

$\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)| .$

उदाहरण के लिए, $(4,4),(3,-2)$ और $(-3,16)$ के शीर्षक वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल

$ \frac{1}{2}|4(-2-16)+3(16-4)+(-3)(4+2)|=\frac{|-54|}{2}=27 $

टिप्पणी यदि त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल शून्य है, तो तीन बिंदु $A, B$ और $C$ एक रेखा पर स्थित हैं, अर्थात्, वे समरेख हैं।

इस अध्याय में, हम निर्देशांक ज्यामिति का अध्ययन जारी रखेंगे सबसे सरल ज्यामितिय आकृति - सीधीआँख की गुणों पर अध्ययन करने के लिए। अप्रत्याशित रूप से सरल रेखा का ज्यामिति की एक महत्वपूर्ण अवधारणा है और यह हमारे दैनिक अनुभवों में कई रूपों में बहुत रोचक और उपयोगी तरीके से दिखाई देती है। मुख्य ध्यान रेखा को बीजगणित के रूप में प्रतिनिधित करने पर है, जिसके लिए ढलान सबसे आवश्यक है।

9.2 रेखा का ढलान

निर्देशांक प्लेन में एक रेखा $x$-अक्ष के साथ दो कोण बनाती है, जो पूरक हैं। रेखा $l$ के ढलान (अर्थात्) $\theta$ को $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा और विषम दिशा में मापा गया कोण कहा जाता है। अवश्य $0^{\circ} \leq \theta \leq 180^{\circ}$ (आकृति 9.2)।

आकृति 9.2

हम देखते हैं कि $x$-अक्ष के समानांतर या $x$-अक्ष के समरूपी रेखाएँ $0^{\circ}$ के ढलान के साथ होती हैं। ऊर्ध्वाधर रेखा ($y$-अक्ष के समानांतर या उसके समरूपी) का ढलान $90^{\circ}$ है।

परिभाषा 1 $\theta$ एक रेखा $l$ का ढलान है, तो $\tan \theta$ रेखा $l$ का ढलान या ग्रेडिएंट कहलाता है।

$90^{\circ}$ के ढलान की अवधारणा परिभाषित नहीं है। रेखा का ढलान $m$ द्वारा निरूपित किया जाता है।

इस प्रकार, $m=\tan \theta, \theta \neq 90^{\circ}$ यह देखा जा सकता है कि $x$-अक्ष का ढलान शून्य है और $y$-अक्ष का ढलान परिभाषित नहीं है।

9.2.1 रेखा के ढलान जब रेखा पर किसी दो बिंदुओं के निर्देशांक दिए गए हों

हम जानते हैं कि जब हम रेखा पर दो बिंदुओं को दे देते हैं, तो रेखा पूरी तरह से निर्धारित हो जाती है। इसलिए, हम रेखा पर दो बिंदुओं के निर्देशांकों के संदर्भ में रेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए आगे बढ़ते हैं।

$P(x_1, y_1)$ और $Q(x_2, y_2)$ $l$ गैर-ऊर्ध्वाधर रेखा पर दो बिंदु हैं जिसका ढलान $\theta$ है। अवश्य, $x_1 \neq x_2$, अन्यथा रेखा $x$-अक्ष के लंबवत हो जाएगी और उसका ढलान परिभाषित नहीं होगा। रेखा $l$ का ढलान छोटा हो सकता है या बड़ा हो सकता है। चलिए इन दो मामलों को लेते हैं।

$x$-अक्ष के लंबवत $QR$ और $RQ$ के लंबवत $PM$ आकर्षित करें जैसा कि आकृति 9.3 (i) और (ii) में दिखाया गया है।

मामला 1 जब कोण $\theta$ छोटा हो:

आकृति 9.3

(i), $\angle MPQ=\theta \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1)$

इस प्रकार, रेखा $l=m=\tan \theta$ का ढलान।

लेकिन $\triangle MPQ$ में, हमारे पास $\tan \theta=\frac{MQ}{MP}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2)$ है

समीकरण (1) और (2) से, हमारे पास $\theta$ है

$ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $

मामला II जब कोण $\angle MPQ=180^{\circ}-\theta$ बड़ा हो:

आकृति 9.3

(ii), हमारे पास $\theta=180^{\circ}-\angle MPQ$ है।

इस प्रकार, $l=m=\tan \theta$ रेखा का ढलान।

$$ \begin{aligned} & =\tan \left(180^{\circ}-\angle \mathrm{MPQ}\right) \\ & =-\tan \angle \mathrm{MPQ} \\ & =-\frac{\mathrm{MQ}}{\mathrm{MP}}=-\frac{y _{2}-y _{1}}{x _{1}-x _{2}}=\frac{y _{2}-y _{1}}{x _{2}-x _{1}} . \end{aligned} $$

इस प्रकार, हम दोनों मामलों में देखते हैं कि बिंदु $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के माध्यम से जुड़ी रेखा का ढलान $m$ $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ द्वारा दिया जाता है।

9.2.2 रेखाओं के ढलानों के संदर्भ में समानांतरता और लंबवतता की शर्तें

निर्देशांक प्लेन में, मान लीजिए कि $l_1$ और $l_2$ $m_1$ और $m_2$ के क्रमशः $\alpha$ और $\beta$ के ढलान वाली गैर-ऊर्ध्वाधर रेखाएँ हैं। $\boldsymbol{l_1}$ रेखा $\boldsymbol{l_2}$ के समानांतर है (आकृति 9.4), तो उनके ढलान बराबर होंगे, अर्थात्,

आकृति 9.4

$ \alpha=\beta, \text{ और इसलिए, } \tan \alpha=\tan \beta $

इस प्रकार $\quad m _{1}=m _{2}$, अर्थात्, उनके ढलान बराबर हैं।

विपरीत, यदि $l_1$ और $l_2$ दोनों रेखाओं का ढलान समान है, अर्थात्,

$$ m_1=m_2 $$

तो

$$ \tan \alpha=\tan \beta \text{. } $$

धनात्मक फलन की गुण ($0^{\circ}$ और $180^{\circ}$ के बीच), $\alpha=\beta$।

इस प्रकार, रेखाएँ समानांतर हैं।

इस प्रकार, $l_1$ और $l_2$ दो गैर-ऊर्ध्वाधर रेखाएँ तभी समानांतर होती हैं जब उनके ढलान बराबर हों।

यदि $ \boldsymbol{l_1 } $ और $\boldsymbol{l_2 } $ रेखाएँ लंबवत हैं (आकृति 9.5), तो $\beta=\alpha+90^{\circ}$।

आकृति 9.5

इस प्रकार, $\quad \tan \beta=\tan (\alpha+90^{\circ})$

$$ =-\cot \alpha=-\frac{1}{\tan \alpha} $$

अर्थात्, $\quad m_2=-\frac{1}{m_1}$ या $\quad m_1 m_2=-1$

विपरीत, यदि $m_1 m_2=-1$, अर्थात्, $\tan \alpha \tan \beta=-1$।

तो $\tan \alpha=-\cot \beta=\tan (\beta+90^{\circ})$ या $\tan (\beta-90^{\circ})$

इस प्रकार, $\alpha$ और $\beta$ $90^{\circ}$ से अलग हैं।

इस प्रकार, $l_1$ और $l_2$ रेखाएँ एक दूसरे के लंबवत हैं।

इस प्रकार, $\quad m_2=-\frac{1}{m_1}$ या, $m_1 m_2=-1$ के अनुप्रतिष्ठ दो गैर-ऊर्ध्वाधर रेखाएँ एक दूसरे के लंबवत होती हैं।

चलिए निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करते हैं।

उदाहरण 1 ढलान ज्ञात कीजिए:

(ए) बिंदु $(3,-2)$ और $(-1,4)$ के माध्यम से गुजरने वाली रेखा,

(ब) बिंदु $(3,-2)$ और $(7,-2)$ के माध्यम से गुजरने वाली रेखा,

(ज) बिंदु $(3,-2)$ और $(3,4)$ के माध्यम से गुजरने वाली रेखा,

(ड) $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ $60^{\circ}$ के ढलान बनाने वाली रेखा।

समाधान (ए) $(3,-2)$ और $(-1,4)$ के माध्यम से जुड़ी रेखा का ढलान

$$ m=\frac{4-(-2)}{-1-3}=\frac{6}{-4}=-\frac{3}{2} $$

(ब) $(3,-2)$ और $(7,-2)$ बिंदुओं के माध्यम से जुड़ी रेखा का ढलान

$$ m=\frac{-2-(-2)}{7-3}=\frac{0}{4}=0 $$

(ज) $(3,-2)$ और $(3,4)$ बिंदुओं के माध्यम से जुड़ी रेखा का ढलान

$ m=\frac{4-(-2)}{3-3}=\frac{6}{0} \text{, जो परिभाषित नहीं है। } $

(ड) यहाँ रेखा का ढलान $\alpha=60^{\circ}$। इस प्रकार, रेखा का ढलान

$$ m=\tan 60^{\circ}=\sqrt{3} \text{. } $$

9.2.3 दो रेखाओं के बीच कोण

जब हम एक प्लेन में एक से अधिक रेखाओं के बारे में सोचते हैं, तो हम पाते हैं कि ये रेखाएँ या तो आपस में चौड़ा हुआ हैं या समानांतर हैं। यहाँ हम उन रेखाओं के बीच के कोण के बारे में चर्चा करेंगे उनके ढलानों के संदर्भ में।

$L_1$ और $L_2$ $m_1$ और $m_2$ के क्रमशः $L_1$ और $L_2$ रेखाओं के ढलान वाली $\alpha_1$ और $\alpha_2$ दो गैर-ऊर्ध्वाधर रेखाएँ हैं। तो

$$ m_1=\tan \alpha_1 \text{ and } m_2=\tan \alpha_2 . $$

हम जानते हैं कि जब दो रेखाएँ आपस में चौड़ा होती हैं, तो वे $180^{\circ}$ के योग के बराबर दो योग्य विपरीत कोणों के दो योग बनाती हैं। $\theta$ और $\phi$ $L_1$ और $L_2$ रेखाओं के बीच एक आसन्न कोण हैं (आकृति 9.6)। तो

आकृति 9.6

$$ \theta=\alpha_2-\alpha_1 \text{ and } \alpha_1, \alpha_2 \neq 90^{\circ} \text{. } $$

इस प्रकार $\tan \theta=\tan (\alpha_2-\alpha_1)=\frac{\tan \alpha_2-\tan \alpha_1}{1+\tan \alpha_1 \tan \alpha_2}=\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2} \quad(.$ क्योंकि $.1+m_1 m_2 \neq 0)$ और $\phi=180^{\circ}-\theta$

ताकि $\tan \phi=\tan (180^{\circ}-\theta)=-\tan \theta=-\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}$, क्योंकि $1+m_1 m_2 \neq 0$

अब, दो मामले आते हैं:

मामला I $\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}$ धनात्मक है, तो $\tan \theta$ धनात