2.1 परिचय

गति ब्रह्मांड में सब कुछ के लिए सामान्य है। हम चलते हैं, दौड़ते हैं और साइकिल चलाते हैं। भले ही हम सो रहे हों, फिर भी हवा हमारी फेफड़ों में अंदर-बाहर चली जाती है और रक्त धमनियों और प्रत्यंत धमनी में प्रवाहित होता है। हम देखते हैं कि पेड़ों से पत्तियाँ गिर रही हैं और जल बाँध से नीचे बह रहा है। ऑटोमोबाइल और विमान लोगों को एक स्थान से दूसरे स्थान तक ले जाते हैं। पृथ्वी प्रति छः घंटे एक बार घूर्णन करती है और एक वर्ष में सूर्य की गोलाकार गति करती है। सूर्य खगोलीय धरती में अपनी गति में है, जो फिर उसके स्थानीय गैलेक्टिक समूह के भीतर गति करती है।

गति समय के साथ वस्तु की स्थिति में परिवर्तन है। समय के साथ स्थिति कैसे परिवर्तित होती है? इस अध्याय में, हम समझने की कोशिश करेंगे कि गति कैसे वर्णित की जाए। इसके लिए, हम वेग और त्वरण के अवधारणाओं का विकास करेंगे। हम अपना अध्ययन सीधी रेखा के साथ वस्तुओं की गति पर सीमित करेंगे, जिसे रेक्टिलीनियर गति के नाम से भी जाना जाता है। समान त्वरण वाली रेक्टिलीनियर गति के मामले में, सरल समीकरणों का एक सेट प्राप्त किया जा सकता है। अंत में, गति के निपटाने की प्राकृतिक प्रकृति को समझने के लिए, हम सापेक्ष वेग की अवधारणा पर प्रवेश करते हैं।

हमारे चर्चाओं में, हम गति में वस्तुओं को बिंदु वस्तुओं के रूप में विचार करेंगे। यह अनुमान तब तक मान्य है जब तक वस्तु का आकार उसके एक - - सामान्य अवधि के लिए उसके द्वारा चलने वाली दूरी से अधिक छोटा नहीं है। असली जीवन की कई स्थितियों में, वस्तुओं का आकार छोटा हो सकता है और उन्हें बिना किसी गलती के बिंदु-जैसी वस्तुओं के रूप में माना जा सकता है। गतिविधि की कारणों में जाने के बावजूद, गतिविधि वर्णन करने के तरीकों पर हम गतिविधि विज्ञान में चर्चा करते हैं। इस अध्याय और अगले अध्याय में वर्णित गति के कारण अध्याय 4 की विषयवस्तु बनते हैं।

2.2 तत्कालीन वेग और गति

औसत वेग हमें यह बताता है कि एक वस्तु दिए गए समय अवधि के दौरान कितनी जल्दी चली है, लेकिन उस अवधि के दौरान वह विभिन्न समय के क्षणों में कितनी जल्दी चलती है इसके बारे में बताता है। इसके लिए, हम एक क्षण में तत्कालीन वेग या साधारण वेग v एक क्षण t पर परिभाषित करते हैं। एक क्षण में वेग को औसत वेग की सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है, जब समय अवधि ${\Delta T}$ अविश्वसनीय रूप से छोटी होती है। अन्य शब्दों में,

$\begin{aligned} v & =\lim _{\Delta \mathrm{t} \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} \ & =\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}\end{aligned}$

जहाँ प्रतीक lim ∆t→0 की ओर सीमा लेने की संख्या अपने दाएं पक्ष पर अवधि के रूप में $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$ के बारे में काल्पनिक अवधारणा को लेने के कार्य का प्रतीक है। गणित की भाषा में, समीकरण (2.1a) के दाएं पक्ष पर संख्या एक अवकल गुणांक है, जो x के लिए t के सापेक्ष है और $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$ के रूप में निरूपित किया जाता है (अनुभाग 2.1 देखें)। यह उस क्षण में समय के सापेक्ष स्थान के परिवर्तन की दर है।

हम समीकरण (2.1a) का उपयोग एक क्षण में वेग के मान को दृश्य या अंकीय तरीके से प्राप्त करने के लिए कर सकते हैं। मान लीजिए कि हम चाहते हैं कि चित्र 2.1 के गणना के साथ चित्र 2.1 में दर्शाए गए कार की गति के लिए समय t = 4 सेकंड (बिंदु P) पर वेग के मान को दृश्य तरीके से प्राप्त करें। आइए एक अवधि 3 सेकंड से 5 सेकंड के बीच एक अवधि $P_1P_2$ (चित्र 2.1) के बीच एक अवधि $\Delta t$ के बीच एक अवधि $2 \mathrm{~s}$ के बीच एक अवधि $\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$ के बीच एक अवधि $\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$ के बीच एक अवधि $3.5 \mathrm{~s}$ के बीच एक अवधि $4.5 \mathrm{~s}$ के बीच एक अवधि $\Delta t \rightarrow 0$ के बीच एक अवधि $\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$ के बीच एक अवधि $\mathrm{P}$ के बीच एक अवधि $t$ $=4 \mathrm{~s}$ के बीच एक अवधि $x=0.08 t^3$ के बीच एक अवधि $\Delta x / \Delta t$ के बीच एक अवधि $\Delta t$ के बीच एक अवधि $2.0 \mathrm{~s}$, $1.0 \mathrm{~s}, 0.5 \mathrm{~s}, 0.1 \mathrm{~s}$ और $0.01 \mathrm{~s}$ के बीच एक अवधि $t=$ $4.0 \mathrm{~s}$ के बीच एक अवधि $t_1=\left(t-\frac{\Delta t}{2}\right)$ और $t_2=\left(t+\frac{\Delta t}{2}\right)$ के बीच एक अवधि $x$, अर्थात् $x\left(t_1\right)=0.08 t_1^3$ और $x\left(t_2\right)=0.08 t_2^3$ के बीच एक अवधि $\Delta x=X\left(t_2\right)-X\left(t_1\right)$ के बीच एक अवधि $\Delta x$ और $\Delta t$ के बीच एक अवधि $\Delta t$ के बीच एक अवधि $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ के बीच एक अवधि $t=4 \mathrm{~s}$ के बीच एक अवधि $(6)$ $x(t)$ $(x)$ $\Delta:(m)$ $\Delta x / \Delta t$
$(a) \theta^y$ के बीच एक अवधि $\Delta t$ के बीच एक अवधि $2.0 \mathrm{~s}$ के बीच एक अवधि $0.010 \mathrm{~s}$ के बीच एक अवधि $3.84 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ के बीच एक अवधि $t=4.0 \mathrm{~s}$, अर्थात् $\frac{d x}{d t}$ के बीच एक अवधि $t=4.0 \mathrm{~s}$ के बीच एक अवधि $\Delta t$ के बीच एक अवधि $\Delta x / \Delta t$ के बीच एक अवधि $\Delta t$ के बीच एक अवधि $\frac{d x}{d t}$ के बीच एक अवधि $s^{–2}$ के बीच एक अवधि $t=0 \mathrm{~s}, \quad V=0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ और $t=2.0 \mathrm{~s}$, $v=10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$।

$\begin{array}{r}=\frac{a+16 b-a-4 b}{2.0}=6.0 \times b \\ =6.0 \times 2.5=15 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\end{array}$

ध्यान दें कि समान गति के लिए, वेग सभी क्षणों में औसत वेग के समान होता है।

तत्कालीन गति या साधारण गति वेग की परिमाण है। उदाहरण के लिए, $+24.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ का वेग और $-24.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}-$ का वेग दोनों को $24.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ की एक गति के साथ है। ध्यान दें कि एक निश्चित समय अवधि के दौरान औसत गति औसत वेग की परिमाण से अधिक या उसके बराबर होती है, लेकिन एक क्षण में तत्कालीन गति उस क्षण में तत्कालीन वेग की परिमाण के समान होती है। ऐसा क्यों है?

2.3 त्वरण

एक वस्तु का वेग, आमतौर पर, उसकी गति की दृष्टि से परिवर्तित होता है। इस परिवर्तन को कैसे वर्णित किया जाए? क्या इसे वेग के परिवर्तन की दर के रूप में वर्णित किया जाएगा जो दूरी या समय के साथ है? यह एक समस्या गैलीली के समय में भी थी। इस परिवर्तन को वेग के परिवर्तन की दर के रूप में वर्णित किया जा सकता था। लेकिन, उनके गुरुजीवन के वस्तुओं और झुकी हुई स्तर पर वस्तुओं की गति के अध्ययन के माध्यम से, गैलीली ने पूर्ण गिरावट के सभी वस्तुओं के लिए वेग के समय के साथ परिवर्तन की दर को एक गति के स्थानिक गुणांक के रूप में प्राप्त किया। दूसरी ओर, दूरी के साथ वेग के परिवर्तन एक निश्चित नहीं है - यह गिरावट की बढ़ती दूरी के साथ घटता है। इसने त्वरण की अवधारणा को वेग के समय के साथ परिवर्तन के रूप में प्राप्त किया।

एक समय अवधि के दौरान औसत त्वरण a को वेग के परिवर्तन को समय अवधि से भाग देने के रूप में परिभाषित किया जाता है:

$\bar{a}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta v}{\Delta t}\quad \quad \quad \quad \quad (2.2)$

जहाँ $v_2$ और $v_1$ समय $t_2$ और $t_1$ पर तत्कालीन वेग या साधारण वेग हैं। यह एक इकाई समय के दौरान वेग का औसत परिवर्तन है। त्वरण की SI इकाई $\mathrm{m} \mathrm{s}^{-2}$ है।

वेग के बनाम समय प्लॉट पर, औसत त्वरण $\left(v_2, t_2\right)$ और $\left(v_1, t_1\right)$ के बीच जो बिंदुओं को जोड़ने वाली सीधी रेखा की झुकाव है।

तत्कालीन त्वरण को तत्कालीन वेग के रूप में इसी तरह परिभाषित किया जाता है:

$ a=\lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t} \quad \quad \quad \quad \quad (2.3) $

एक क्षण में त्वरण उस क्षण में $v-t$ वक्र के टैनेंट की झुकाव है।

चूंकि वेग एक संख्या है जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं, इसलिए वेग में परिवर्तन इन कारकों में से एक या दोनों के परिवर्तन का परिणाम हो सकता है। इसलिए, त्वरण इस परिमाण के परिवर्तन (परिमाण), दिशा के परिवर्तन या दोनों के परिवर्तनों का परिणाम हो सकता है। वेग की तरह, त्वरण भी सकारात्मक, नकारात्मक या शून्य हो सकता है। सकारात्मक, नकारात्मक और शून्य त्वरण वाली गति के लिए स्थान-समय प्लॉट चित्र 2.4 (a), (b) और (c) में दर्शाए गए हैं। ध्यान दें कि सकारात्मक त्वरण के लिए प्लॉट ऊपर की ओर झुका हुआ है; नकारात्मक त्वरण के लिए नीचे की ओर झुका हुआ है और शून्य त्वरण के लिए यह एक सीधी रेखा है।

https://temp-public-img-folder.s3.ap-south-1.amazonaws.com/sathee.prutor.images/images/ncertbook/phy/p11/motion_in_a_straight_line/ncert_p11_ch02_position-time_graph_for_motion%20with.png"

चित्र 2.2 स्थान-समय प्लॉट गति के लिए (a) सकारात्मक त्वरण; (b) नकारात्मक त्वरण, और (c) शून्य त्वरण।

हालाँकि त्वरण समय के साथ परिवर्तित हो सकता है, हमारा इस अध्याय में अध्ययन समान त्वरण वाली गति पर सीमित होगा। इस मामले में, औसत त्वरण अवधि के दौरान त्वरण के स्थानिक मान के बराबर होता है। अगर एक वस्तु का वेग $V$ $t$ $=0$ और $v$ समय $t$ पर है, तो हमारे पास है

$ \bar{a}=\frac{v-v_o}{t-0} $

$\text { or, } v=v_o+a t \quad (2.4) $

चलिए मूल मामलों के लिए वेग-समय प्लॉट कैसा दिखता है देखते हैं। चित्र 2.3 समान त्वरण वाली गति के लिए निम्नलिखित मामलों के लिए वेग-समय प्लॉट दिखाता है:

https://temp-public-img-folder.s3.ap-south-1.amazonaws.com/sathee.prutor.images/images/ncertbook/phy/p11/motion_in_a_straight_line/ncert_p11_ch02_velocity_time_graph_for_motions_with_constant_acceleration.png"

चित्र 2.3 समान त्वरण वाली गति के लिए वेग-समय प्लॉट। (a) सकारात्मक दिशा में गति के साथ सकारात्मक त्वरण, (b) सकारात्मक दिशा में गति के साथ नकारात्मक त्वरण, (c) नकारात्मक दिशा में गति के साथ नकारात्मक त्वरण, (d) एक वस्तु की नकारात्मक त्वरण के साथ गति जो समय t1 पर दिशा बदलती है। समय 0 से $t_1$ तक, यह सकारात्मक x - दिशा में चलती है और $t_1$ और $t_2$ के बीच यह विपरीत दिशा में चलती है।

(ए) एक वस्तु सकारात्मक दिशा में चल रही है जिसमें सकारात्मक त्वरण है।

(ब) एक वस्तु सकारात्मक दिशा में चल रही है जिसमें नकारात्मक त्वरण है।

(ज) एक वस्तु नकारात