5.1 परिचय

‘कार्य’, ‘ऊर्जा’ और ‘शक्ति’ शब्द दैनिक भाषा में बार-बार प्रयुक्त होते हैं। एक किसान जो खेत की जमीन की भुरी लगाता है, एक निर्माण श्रमिक जो ईंटे ले जाता है, एक छात्र जो प्रतिस्पर्धी परीक्षा की तैयारी करता है, एक कलाकार जो एक सुंदर प्राकृतिक परिदृश्य पर चित्रण करता है, ये सभी काम कर रहे हैं कहा जाता है। फिर भी, भौतिक विज्ञान में, ‘कार्य’ शब्द का अर्थ निश्चित और सटीक होता है। कोई व्यक्ति जिसकी दैनिक आवश्यकता 14-16 घंटे तक काम करने की क्षमता होती है, उसे बड़ी सहनशक्ति या ऊर्जा होती है कहा जाता है। हम एक दूर दौड़ने वाली एथलीट की सहनशक्ति या ऊर्जा की सराहना करते हैं। इस तरह से, ऊर्जा हमारी कार्य करने की क्षमता है। भौतिक विज्ञान में भी, ‘ऊर्जा’ शब्द का अर्थ इस अर्थ में कार्य से संबंधित है, लेकिन ऊपर कहीं भी कहा गया है कि ‘कार्य’ शब्द का परिभाषित करना बहुत अधिक सटीक है। ‘शक्ति’ शब्द दैनिक जीवन में अलग-अलग अर्थों में प्रयुक्त होता है। काराती या बॉक्सिंग में हम ‘शक्तिशाली’ मुश्किलें कहते हैं। ये मुश्किलें बहुत जल्दी देखी जाती हैं। इस अर्थ का अंदाज़ ‘भौतिक विज्ञान’ में ‘शक्ति’ शब्द का अर्थ से काफी निकट है। हमें पता होगा कि भौतिक परिभाषाओं और इन शब्दों द्वारा हमारे मन में उत्पन्न शारीरिक चित्रणों के बीच अधिकतम मध्य एक लचीला संबंध है। इस अध्याय का उद्देश्य इन तीन भौतिक राशियों की अवधारणा को समझना है। हम इस कार्य को आगे बढ़ने से पहले, दो संख्याओं के दोनों के स्केलर गुणन की एक गणितीय पूर्वापेक्षा का विकास करने की आवश्यकता है।

5.1.1 स्केलर गुणन

हमने अध्याय 3 में संख्याओं और उनके उपयोग के बारे में सीखा है। अस्थान, वेग, त्वरण, बल आदि जैसी भौतिक राशियाँ संख्याएँ हैं। हमने भी सीखा है कि संख्याएँ कैसे जोड़ी जाती हैं या घटाई जाती हैं। अब हमें जानना है कि संख्याएँ कैसे गुणा की जाती हैं। हम संख्याओं के गुणन के दो तरीके आश्चर्य करेंगे: एक तरीका जिसे स्केलर गुणन कहा जाता है, जो दो संख्याओं से एक स्केलर देता है और दूसरा तरीका जिसे वेक्टर गुणन कहा जाता है, जो दो संख्याओं से एक नई संख्या उत्पन्न करता है। हम वेक्टर गुणन को अध्याय 6 में देखेंगे। यहाँ हम दो संख्याओं के स्केलर गुणन पर चर्चा करते हैं। किसी भी दो संख्याओं A और B का स्केलर गुणन या डॉट गुणन, जिसे A.B (जिसे $\mathbf{A} \operatorname{dot} \mathbf{B}$ पढ़ा जाता है) के रूप में दर्शाया जाता है, को निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित किया जाता है

$$ \begin{equation*} \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=A B \cos \theta \tag{5.1a} \end{equation*} $$

जहाँ $\theta$ दो संख्याओं के बीच का आङ्गण दर्शाता है, जैसा कि आकृति 5.1(ए) में दिखाया गया है। चूंकि $A, B$ और $\cos \theta$ स्केलर हैं, इसलिए $\mathbf{A}$ और $\mathbf{B}$ का डॉट गुणन एक स्केलर राशि है। प्रत्येक संख्या, $\mathbf{A}$ और $\mathbf{B}$, का दिशा है लेकिन उनके स्केलर गुणन के पास कोई दिशा नहीं है।

समीकरण (5.1ए) से, हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{aligned} \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} & =A(B \cos \theta) \\ & =B(A \cos \theta) \end{aligned} $$

ज्यामितिक रूप से, $B \cos \theta$ आकृति 5.1 (ब) में $\mathbf{B}$ की $\mathbf{A}$ पर प्रवेश है और $A \cos \theta$ आकृति 5.1 (च) में $\mathbf{A}$ की $\mathbf{B}$ पर प्रवेश है। इस प्रकार, A.B है $\mathbf{A}$ की परिमाण और $\mathbf{B}$ के A के खींच के समानांतर घटक का गुणनफल। या फिर, यह $\mathbf{B}$ की परिमाण और $\mathbf{A}$ के $\mathbf{B}$ के खींच के समानांतर घटक का गुणनफल है।

समीकरण (5.1ए) दिखाता है कि स्केलर गुणन कम्युटेटिव नियम का पालन करता है:

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=\mathbf{B} \cdot \mathbf{A}$

स्केलर गुणन वितरण नियम का पालन करता है:

$\mathbf{A} \cdot(\mathbf{B}+\mathbf{C})=\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}+\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}$

इसके अतिरिक्त, $\quad \mathbf{A} \cdot(\lambda \mathbf{B})=\lambda(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})$

जहाँ $\lambda$ एक वास्तविक संख्या है।

उपरोक्त समीकरणों के सिद्धांत आपके लिए एक अभ्यास के रूप में छोड़ दिए गए हैं।

एकान्त संख्याओं $\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}, \hat{\mathbf{k}}$ के लिए हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{aligned} & \hat{\mathbf{i}} \cdot \hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}} \cdot \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}} \cdot \hat{\mathbf{k}}=1 \\ & \hat{\mathbf{i}} \cdot \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{j}} \cdot \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{k}} \cdot \hat{\mathbf{i}}=0 \end{aligned} $$

दो संख्याओं

$$ \begin{aligned} & \mathbf{A}=A_{x} \hat{\mathbf{i}}+A_{y} \hat{\mathbf{j}}+A_{z} \hat{\mathbf{k}} \\ & \mathbf{B}=B_{x} \hat{\mathbf{i}}+B_{y} \hat{\mathbf{j}}+B_{z} \hat{\mathbf{k}} \end{aligned} $$

उनका स्केलर गुणन है

$$ \begin{align*} & \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=\left(A_{x} \hat{\mathbf{i}}+A_{y} \hat{\mathbf{j}}+A_{z} \hat{\mathbf{k}}\right) \cdot\left(B_{x} \hat{\mathbf{i}}+B_{y} \hat{\mathbf{j}}+B_{z} \hat{\mathbf{k}}\right) \\ & =A_{x} B_{x}+A_{y} B_{y}+A_{z} B_{z} \tag{5.1b} \end{align*} $$

स्केलर गुणन और (समीकरण 5.1ब) की परिभाषा से हम प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{equation*} \text{(i)} \quad \quad \quad \quad \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}=A_{x} A_{x}+A_{y} A_{y}+A_{z} A_{z} \end{equation*} $$

$$\text{Or, } \quad\quad\quad\quad A^{2}=A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2} \tag{5.1c}$$

चूंकि $\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}=|\mathbf{A}||\mathbf{A}| \cos 0=A^{2}$।

(ii) $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=0$, अगर $\mathbf{A}$ और $\mathbf{B}$ लंबवत हैं।

उदाहरण 5.1 बल $\mathbf{F}=(3 \hat{\mathbf{i}}+4 \hat{\mathbf{j}}-5 \hat{\mathbf{k}})$ इकाई और अस्थानांतरण $\mathbf{d}=(5 \hat{\mathbf{i}}+4 \hat{\mathbf{j}}+3 \hat{\mathbf{k}})$ इकाई के बीच का आङ्गण ज्ञात कीजिए। $\mathbf{F}$ की $\mathbf{d}$ पर प्रवेश भी ज्ञात कीजिए।

उत्तर $\mathbf{F} \cdot \mathbf{d}=F_{x} d_{x}+F_{y} d_{y}+F_{z} d_{z}$

$$ \begin{aligned} & =3(5)+4(4)+(-5)(3) \\ & =16 \text { unit } \end{aligned} $$

इस प्रकार, $\mathbf{F} \cdot \mathbf{d}=F d \cos \theta=16$ इकाई

अब $\mathbf{F} \cdot \mathbf{F}$ $$ =F^{2}=F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+F_{z}^{2} $$

$$ \begin{aligned} & =9+16+25 \\ & =50 \text { unit } \end{aligned} $$

और $\mathbf{d} \cdot \mathbf{d} \quad=d^{2}=d_{x}^{2}+d_{y}^{2}+d_{z}^{2}$

$$ =25+16+9 $$

$$ =50 \text { unit } $$

$\therefore \cos \theta=\frac{16}{\sqrt{50} \sqrt{50}}=\frac{16}{50}=0.32$,

$\theta=\cos ^{-1} 0.32$

आकृति 5.1 (ए) दो संख्याओं A और B का स्केलर गुणन एक स्केलर है: A.B = A B cos θ। (ब) B cos θ है B की A पर प्रवेश। (च) A cos θ है A की B पर प्रवेश।

5.2 कार्य और भौतिक गति की अवधारणाएँ: कार्य-ऊर्जा प्रमेय

स्थिर त्वरण $a$ के तहत रेखीय गति के लिए निम्नलिखित संबंध अध्याय 3 में मिला है,

$$ \begin{equation*} v^{2}-u^{2}=2 a s \tag{5.2} \end{equation*} $$

जहाँ $u$ और $v$ प्रारंभिक और अंतिम गति हैं और $s$ अस्थानांतरण की दूरी है। दोनों पक्षों को $m / 2$ से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{equation*} \frac{1}{2} m v^{2}-\frac{1}{2} m u^{2}=m a s=F s \tag{5.2a} \end{equation*} $$

जहाँ अंतिम चरण न्यूटन के द्वितीय नियम से है। हम संख्याओं का प्रयोग करके समीकरण (5.2) को तीन आयामों में सामान्य कर सकते हैं

$$ v^{2}-u^{2}=2 \text { a.d } $$

यहाँ $\mathbf{a}$ और $\mathbf{d}$ वस्तु का त्वरण और अस्थानांतरण संख्याएँ हैं। फिर भी दोनों पक्षों को $\mathrm{m} / 2$ से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{equation*} \frac{1}{2} m v^{2}-\frac{1}{2} m u^{2}=m \mathbf{a} \cdot \mathbf{d}=\mathbf{F} . \mathbf{d} \tag{5.2b} \end{equation*} $$

उपरोक्त समीकरण कार्य और भौतिक गति की परिभाषाओं की प्रेरणा प्रदान करता है। समीकरण के वाम पक्ष में ‘दो गुना का गुणन द्वारा गति का वर्ग के आधार पर मात्रा के अंतर है जो उसके प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक चलता है। हम इन राशियों को ‘भौतिक गति’ कहते हैं, जिसे $K$ के रूप में दर्शाया जाता है। दाहिने पक्ष एक अस्थानांतरण और उस अस्थानांतरण के खींच के समानांतर घटक के गुणनफल है। यह राशि ‘कार्य’ कहलाती है और W के रूप में दर्शाया जाता है। समीकरण (5.2ब) तब

$$ \begin{equation*} K_{f}-K_{i}=W \tag{5.3} \end{equation*} $$

जहाँ $K_{i}$ और $K_{f}$ वस्तु की प्रारंभिक और अंतिम भौतिक गति हैं। कार्य का अर्थ है बल और उस अस्थानांतरण का जिस पर उसका प्रभाव पड़ता है। एक बल द्वारा एक वस्तु पर किसी निश्चित अस्थानांतरण के दौरान कार्य किया जाता है।

समीकरण (5.2) कार्य-ऊर्जा (WE) प्रमेय का एक विशेष मामला भी है: एक कण की भौतिक गति में बदलाव होता है जिसके परिवर्तन का कारण उस पर शुद्ध बल द्वारा किया गया कार्य होता है। हम एक बाद के अध्याय में एक भिन्न बल के लिए उपरोक्त व्याख्या को सामान्य करेंगे।

उदाहरण 5.2 यह ज्ञात है कि एक बरसात की बूंद विश्व के बल के प्रभाव में गिरती है और विपरीत प्रतिरोधक बल के प्रभाव में। उस प्रतिरोधक बल को पता है कि यह बूंद की गति के अनुपात में है लेकिन अन्यथा अनिश्चित है। एक दृष्टि लें $1.00 \mathrm{~g}$ की द्रव्यमान की एक बूंद जो $1.00 \mathrm{~km}$ की ऊँचाई से गिरती है। यह $50.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ की गति से जमीन पर टकराती है। (ए) ग्रहीय बल द्वारा किया गया कार्य क्या है? अज्ञात प्रतिरोधक बल द्वारा किया गया कार्य क्या है?

उत्तर (ए) बूंद की भौतिक गति में परिवर्तन है

$$ \begin{aligned} & \Delta K=\frac{1}{2} m v^{2}-0 \\ & =\frac{1}{2} \times 10^{-3} \times 50 \times 50 \\ & =1.25 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

जहाँ हमने अनुमानित किया है कि बूंद प्रारंभिक रूप से निष्क्रिय है। $g$ एक फिजिक्स में एक स्थिर राशि है $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ के मान के साथ, ग्रहीय बल द्वारा किया गया कार्य है,

$$ \begin{aligned} W_{g} & =m g h \\ & =10^{-3} \times 10 \times 10^{3} \\ & =10.0 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

(ब) कार्य-ऊर्जा प्रमेय से

$$ \Delta K=W_{g}+W_{r} $$

जहाँ $W_{r}$ है बरसात की बूंद पर प्रतिरोधक बल द्वारा किया गया कार्य। इस प्रकार

$$ \begin{aligned} W_{r} & =\Delta K-W_{g} \\ & =1.25-10 \\ & =-8.75 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

ऋणात्मक है।

5.3 कार्य

जैसा पहले देखा गया है, कार्य का संबंध बल और उस अस्थानांतरण से है जिस पर उसका प्रभाव पड़ता है। एक स्थिर बल $\mathbf{F}$ को एक $m$ की द्रव्यमान वाली वस्तु पर लागू किया जाता है। वस्तु $\mathbf{d}$ का एक अस्थानांतरण $x$-दिशा में आकृति 5.2 में दिखाए गए अनुसार होता है।

आकृति 5.2 एक वस्तु F बल के प्रभाव में d अस्थानांतरण करती है।

बल द्वारा किया गया कार्य को उस बल के अस्थानांतरण के खींच के समानांतर घटक और इस अस्थानांतरण की परिमाण के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है। इस प्रकार

$$ \begin{equation*} W=(F \cos \theta) d=\mathbf{F} \cdot \mathbf{d} \tag{5.4} \end{equation*} $$

हम देखते हैं कि अगर कोई अस्थानांतरण नहीं है, तो भले ही बल बड़ा ही हो, कोई कार्य नहीं किया जाता है। इस प्रकार, जब आप एक ठोस ईंट की दीवार के खिलाफ मजबूरी से पीछे-पीछे दबाते हैं, तो दीवार पर आपके द्वारा लागू किया गया बल कोई कार्य नहीं करता है। फिर भी आपके संयंत्र एकाग्र और शराब हैं और आंतरिक ऊर्जा खपत हो रही है और आप थक जाते हैं। इस प्रकार, भौतिक विज्ञान में कार्य का अर्थ इस दैनिक भाषा में उसके उपयोग से अलग है।

अगर निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं, तो कोई कार्य नहीं किया जाता है:

(i) अस्थानांतरण शून्य होता है जैसा उपरोक्त उदाहरण में देखा गया है। एक तौलने वाले जो $\mathrm{kg}$ की द्रव्यमान को $30 \mathrm{~s}$ के लिए अपने कंधे पर स्थिर रूप से रखता है, उस दौरान उस भार पर कोई