अधिकांश विज्ञानों में एक पीढ़ी दूसरी के बनाए गए काम को नष्ट करती है और जो किसी एक के द्वारा स्थापित किया गया है, उसे दूसरा नष्ट कर देता है। केवल गणित में ही प्रत्येक पीढ़ी पुरानी संरचना के लिए एक नई कहानी बनाती है। - हरमन हांकेल

10.1 परिचय

हमारे दैनिक जीवन में, हम ऐसे कई प्रश्नों का सामना करते हैं जैसे - आपकी ऊँचाई क्या है? फुटबॉल के खिलाड़ी कैसे बल्ले को मारेंगे जिससे उसकी टीम के दूसरे खिलाड़ी को पास दे सके? ध्यान दें कि पहले प्रश्न का एक संभावित उत्तर 1.6 मीटर है, एक राशि जिसमें केवल एक मान (पैमाना) है जो एक वास्तविक संख्या है। ऐसी राशियाँ स्केलर कहलाती हैं। हालाँकि, दूसरे प्रश्न का उत्तर एक राशि (जिसे बल कहते हैं) है जिसमें स्नातक शक्ति (पैमाना) और दिशा (जहाँ दूसरा खिलाड़ी स्थित है) शामिल है। ऐसी राशियाँ सदिश कहलाती हैं। गणित, भौतिकी और अभियांत्रिकी में, हम अक्सर दोनों प्रकार की राशियों का सामना करते हैं, अर्थात् स्केलर राशियों जैसे लंबाई, द्रव्यमान, समय, दूरी, गति, क्षेत्रफल, आयतन, तापमान, काम, पैसा, वोल्टेज, घनत्व, प्रतिरोध आदि और सदिश राशियों जैसे अस्थिरता, वेग, गतिशीलता, बल, वजन, धारा, विद्युत अंतराल आदि।

वी.आर. हैमिल्टन $(1805-1865)$

इस अध्याय में, हम सदिशों के कुछ बुनियादी अवधारणाओं, सदिशों पर विभिन्न संक्रियाओं और उनके बीजगणितीय और ज्यामितीय गुणों का अध्ययन करेंगे। इन दोनों प्रकार के गुणों को एक साथ विचार करने से, सदिश के अवधारणा को पूर्ण रूप से समझने में मदद मिलती है और उनके उपयोग के लिए विभिन्न क्षेत्रों में जैसा कि उपरोक्त उल्लेख किया गया है, उनकी आवश्यकता होती है।

10.2 कुछ बुनियादी अवधारणाएँ

चिह्न $l$ को चिह्न $l$ के लिए किसी भी सीधी रेखा पर एक प्लेन या त्रि-आयामी स्थान में एक दिशा दी जा सकती है। एक ऐरोहेड्स के माध्यम से इन रेखा के दो दिशाएँ दी जा सकती हैं। इनमें से एक दिशा के साथ एक रेखा को एक दिशानिर्दिष्ट रेखा कहा जाता है (चित्र 10.1 (i), (ii))।

चित्र 10.1

अब ध्यान दें कि यदि हम रेखा $l$ को अंतराल AB पर सीमित कर दें, तो रेखा $l$ पर दोनों दिशाओं में से एक दिशा के साथ एक पैमाना निर्धारित होता है, जिससे हम एक दिशानिर्दिष्ट रेखा अंतराल (चित्र 10.1(iii)) प्राप्त करते हैं। इस प्रकार, एक दिशानिर्दिष्ट रेखा अंतराल के पैमाने के साथ-साथ दिशा का भी होता है।

परिभाषा 1 एक राशि जिसमें पैमाना और दिशा दोनों होती है, उसे सदिश कहते हैं।

ध्यान दें कि एक दिशानिर्दिष्ट रेखा अंतराल एक सदिश है (चित्र 10.1(iii)), जिसे $\overrightarrow{{}AB}$ या केवल $\vec{a}$ के रूप में दर्शाया जाता है, और $\overrightarrow{{}AB}$ या $\vec{a}$ के रूप में पढ़ा जाता है।

सदिश $\overrightarrow{{}AB}$ की शुरुआत करने वाली बिन्दु $A$ को उसकी आरंभिक बिन्दु कहते हैं, और जहाँ यह समाप्त होता है, उसे $B$ कहते हैं। एक सदिश की आरंभिक और अंतिम बिन्दुओं के बीच की दूरी को सदिश के पैमाने (या लंबाई) कहते हैं, जिसे $|\overrightarrow{{}AB}|$, $|\vec{a}|$, या $a$ के रूप में दर्शाया जाता है। तीर सदिश की दिशा को दर्शाता है।

नोट चूंकि लंबाई कभी ऋणात्मक नहीं होती, इसलिए नोटेशन $|\vec{a}|<0$ का मतलब नहीं है।

स्थान सदिश

क्लास ग्यारह से याद करें तीन आयामी दायाँ हाथ के आयामी नियतांक प्रणाली (चित्र 10.2(i))। स्थान $O(0,0,0)$ के सापेक्ष नियत आयामों $(x, y, z)$ वाले स्थान $P$ में एक बिन्दु पर विचार करें। फिर, $O$ और $P$ को अपनी आरंभिक और अंतिम बिन्दुओं के रूप में क्रमानुसार दर्शाने वाला सदिश $\overrightarrow{{}OP}$ को $P$ के स्थान के लिए $O$ के सापेक्ष $P$ के स्थान सदिश कहलाता है। दूरी सूत्र (क्लास ग्यारह से) का उपयोग करके, $\overrightarrow{{}OP}$ (या $\vec{r}$) के पैमाने को निम्नलिखित प्रकार दिया जाता है

$$ |\overrightarrow{{}OP}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} $$

व्यावहारिक अवधारणा में, बिन्दुओं $A, B, C$, आदि के स्थान सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$, आदि क्रमानुसार $O$ के सापेक्ष $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$, आदि के रूप में दर्शाए जाते हैं (चित्र 10.2 (ii))।

चित्र 10.2

दिशा बहुपद

स्थान सदिश $\overrightarrow{{}OP}$ (या $\vec{r}$) के लिए विचार करें जो चित्र 10.3 में दिया गया है। सदिश $\vec{r}$ के $x, y$ और $z$-अक्षों की धीरे दिशा के $\alpha$, $\beta, \gamma$ को उसके दिशा कोण कहते हैं। इन कोणों के कोसाइन मान, अर्थात् $\cos \alpha, \cos \beta$ और $\cos \gamma$ को सदिश $\vec{r}$ के दिशा कोसाइन कहते हैं, और आमतौर पर $l, m$ और $n$ के रूप में दर्शाए जाते हैं।

चित्र 10.3 से एक नोट करें कि त्रिभुज OAP एक अधिकृत कोण वाला है, और इसमें है $\cos \alpha=\frac{x}{r}(r$ $|\vec{r}|)$ का अर्थ है। इसी प्रकार, अधिकृत कोण वाले त्रिभुजों OBP और OCP से, हम $\cos \beta=\frac{y}{r}$ और $\cos \gamma=\frac{z}{r}$ लिख सकते हैं। इस प्रकार, बिन्दु P के नियतांक $(l r, m r, n r)$ के रूप में भी व्यक्त किए जा सकते हैं। संख्याएँ $l r, m r$ और $n r$, दिशा कोसाइनों के समानुपाती हैं जो कि सदिश $\vec{r}$ के दिशा अनुपात कहलाते हैं, और $a, b$ और $c$ के रूप में दर्शाए जाते हैं।

नोट एक नोट करें कि $l^{2}+m^{2}+n^{2}=1$ है लेकिन $a^{2}+b^{2}+c^{2} \neq 1$, आमतौर पर नहीं।

10.3 सदिशों के प्रकार

शून्य सदिश एक सदिश जिसकी आरंभिक और अंतिम बिन्दु एक समान होती है, उसे शून्य सदिश (या शून्य सदिश) कहते हैं, और $\overrightarrow{{}0}$ के रूप में दर्शाया जाता है। शून्य सदिश को एक निश्चित दिशा नहीं दी जा सकती क्योंकि इसका पैमाना शून्य है। या, वैकल्पिक रूप से, इसे किसी भी दिशा में माना जा सकता है। सदिश $\overrightarrow{{}AA}, \overrightarrow{{}BB}$ शून्य सदिश का प्रतिनिधित्व करते हैं,

एकीकृत सदिश एक सदिश जिसका पैमाना एकाइ (अर्थात् 1 इकाई) है, उसे एकीकृत सदिश कहते हैं। एक दिया गया सदिश $\vec{a}$ की दिशा में एकीकृत सदिश $\hat{a}$ के रूप में दर्शाया जाता है।सह-आरंभिक सदिश दो या अधिक सदिश जिनकी एक ही आरंभिक बिन्दु होती है, सह-आरंभिक सदिश कहलाते हैं।

समरेख सदिश दो या अधिक सदिश को तभी समरेख कहा जाता है जब वे एक ही रेखा के समानांतर हों, चाहे उनके पैमाने और दिशा कितने ही भिन्न हों।

समान सदिश दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ को समान कहा जाता है, अगर उनके पैमाने और दिशा एक ही हों चाहे उनकी आरंभिक बिन्दुओं की स्थिति कितनी भी अलग-अलग हो, और $\vec{a}=\vec{b}$ के रूप में लिखा जाता है।

एक सदिश का नकारात्मक एक सदिश जिसका पैमाना एक दिया गया सदिश (जैसे, $\overrightarrow{{}AB}$) के पैमाने के समान है, लेकिन उसकी दिशा उसके विपरीत है, उसे दिए गए सदिश का नकारात्मक कहते हैं। उदाहरण के लिए, सदिश $\overrightarrow{{}BA}$ सदिश $\overrightarrow{{}AB}$ का नकारात्मक है, और $\overrightarrow{{}BA}=-\overrightarrow{{}AB}$ के रूप में लिखा जाता है।

टिप्पणी ऊपर परिभाषित सदिश ऐसे हैं कि उनमें से कोई भी उनके पैमाने और दिशा को बदले बिना उसके समानांतर स्थानांतरण के लिए समर्थित है। ऐसे सदिश को मुक्त सदिश कहते हैं। इस अध्याय के दौरान, हम केवल मुक्त सदिशों के साथ काम करेंगे।

उदाहरण 1 दक्षिण-पश्चिम की ओर $40 km, 30^{\circ}$ के स्थानांतरण को आकृतिगत रूप से दर्शाएँ।

समाधान सदिश $\overrightarrow{{}OP}$ आवश्यक स्थानांतरण का प्रतिनिधित्व करता है (चित्र 10.4)।

चित्र 10.4

उदाहरण 2 निम्नलिखित मापों को स्केलर और सदिश के रूप में वर्गीकृत करें।

(i) $5 \mathrm{~s}$

(ii) $1000 \mathrm{~cm}^{3}$

(iii) $10 \mathrm{~N}$

(iv) $30 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$

(v) $10 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}$

(vi) $20 m / s$ उत्तर की ओर

समाधान

(i) समय-स्केलर

(ii) आयतन-स्केलर

(iii) बल-सदिश

(iv) गति-स्केलर

(v) घनत्व-स्केलर

(vi) वेग-सदिश

उदाहरण 3 चित्र 10.5 में, निम्नलिखित सदिशों में से कौन-से हैं:

(i) समरेख

(ii) समान

(iii) सह-आरंभिक

समाधान

(i) समरेख सदिश: $\vec{a}, \vec{c}$ और $\vec{d}$।

(ii) समान सदिश : $\vec{a}$ और $\vec{c}$।

(iii) सह-आरंभिक सदिश : $\vec{b}, \vec{c}$ और $\vec{d}$।

10.4 सदिशों का योग

एक सदिश $\overrightarrow{{}AB}$ का अर्थ बस एक बिन्दु A से बिन्दु $B$ तक के स्थानांतरण का होता है। अब एक अवस्था पर विचार करें कि एक लड़की $A$ से $B$ तक चलती है और फिर $B$ से $C$ तक (चित्र 10.7)। लड़की द्वारा बिन्दु $A$ से बिन्दु $C$ तक किया गया कुल स्थानांतरण, सदिश $\overrightarrow{{}AC}$ द्वारा दिया जाता है और निम्नलिखित प्रकार व्यक्त किया जाता है

चित्र 10.7

$ \overrightarrow{{}AC}=\overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC} $

इसे सदिश योग का त्रिकोण नियम कहा जाता है।

आमतौर पर, यदि हमें $\vec{a}$ और $\vec{b}$ (चित्र 10.8 (i)) दो सदिश हों, तो उन्हें योग करने के लिए, उन्हें उस प्रकार स्थित किया जाता है कि एक की आरंभिक बिन्दु दूसरे की अंतिम बिन्दु से मेल खाती है (चित्र 10.8(ii))।

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