गणितीय रचनाओं की गतिशील शक्ति तर्क नहीं है बल्कि कल्पना है। - ए.डी.मोर्गन

11.1 परिचय

ग्राफ़ गणित के दो आयामों में विश्लेषणात्मक ज्यामिति और तीन आयामी ज्यामिति की परिचय के दौरान ग्राफ़ कक्षा ग्राफ़ गणित में केवल कार्टेजियन विधियों पर केंद्रित रहे। इस पुस्तक के पिछले अध्याय में, हमने सांकेतिक क्रम के कुछ मौलिक अवधारणाओं का अध्ययन किया है। अब हम सांकेतिक बीजगणित का उपयोग तीन आयामी ज्यामिति के लिए करेंगे। 3-आयामी ज्यामिति के इस दृष्टिकोण का उद्देश्य यह है कि यह अध्ययन सरल और सुन्दर* बनाता है।

इस अध्याय में, हम दो बिन्दुओं के बीच एक रेखा के दिशा बिंदुओं और दिशा अनुपातों का अध्ययन करेंगे और आकाश में विभिन्न परिस्थितियों में रेखाओं और स्थानों के समीकरणों के बारे में चर्चा करेंगे, दो रेखाओं, दो स्थानों, एक रेखा और एक स्थान, दो विषम रेखाओं के बीच सबसे छोटी दूरी और एक स्थान से एक बिन्दु की दूरी। उपरोक्त परिणामों की बहुत सी सांकेतिक रूप में प्राप्त की जाती है। तथापि, हम इन परिणामों को कार्टेजियन रूप में भी अनुवादित करेंगे जो, कभी-कभी परिस्थिति की एक अधिक स्पष्ट ज्यामितिक और विश्लेषणात्मक तस्वीर प्रस्तुत करता है।

लेओन्हार्ड आयलर $(\mathbf{1 7 0 7 - 1 7 8 3 })$

11.2 एक रेखा के दिशा बिंदुओं और दिशा अनुपात

अध्याय 10 से याद करें कि यदि एक निर्देशित रेखा $L$ शुरुआत से गुजरती है और $\alpha, \beta$ और $\gamma$ को $x, y$ और $z$-अक्षों के साथ क्रमशः घिरती है, तो इन कोणों के कोज्या, अर्थात् $\cos \alpha, \cos \beta$ और $\cos \gamma$ को निर्देश कोणों के दिशा कोज्या कहते हैं।

$L$ की दिशा को उल्टा करने पर, निर्देश कोणों को उनके पूरकों से बदल दिया जाता है, अर्थात् $\pi-\alpha, \pi-\beta$ और $\pi-\gamma$। इस प्रकार, दिशा कोज्याओं के चिह्नों को उल्टा दिया जाता है।

Fig 11.1

ध्यान दें कि एक दिए गए रेखा अंतरिक्ष में दो विपरीत दिशाओं में बढ़ सकती है और इसलिए इसके दो सेट दिशा कोज्या होते हैं। अंतरिक्ष में एक दिए गए रेखा के लिए अद्वितीय सेट दिशा कोज्या प्राप्त करने के लिए, हमें दिए गए रेखा को एक निर्देशित रेखा मानना चाहिए। इन अद्वितीय दिशा कोज्या को $l, m$ और $n$ के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है।

टिप्पणी यदि अंतरिक्ष में दिए गए रेखा शुरुआत से नहीं गुजरती है, तो इसके दिशा कोज्या प्राप्त करने के लिए, हम शुरुआत से एक रेखा खींचते हैं जो दिए गए रेखा के समानांतर हो। अब शुरुआत से एक निर्देशित रेखा लें और दो समानांतर रेखाओं के एक ही सेट दिशा कोज्या होने के कारण उसके दिशा कोज्या प्राप्त करें।

एक रेखा के दिशा कोज्याओं के बारे में कोई भी तीन संख्याएँ जो उसके दिशा कोज्याओं के समानुपाती हों को रेखा के दिशा अनुपात कहते हैं। $l, m, n$ दिशा कोज्या और $a, b, c$ एक रेखा के दिशा अनुपात हैं, तो $a=\lambda l, b=\lambda m$ और $c=\lambda n$, किसी भी गैर-शून्य $\lambda \in \mathbf{R}$ के लिए।

नोट कुछ लेखक दिशा अनुपातों को दिशा संख्याओं के रूप में भी कहते हैं।

$a, b, c$ एक रेखा के दिशा अनुपात हैं और $l, m$ और $n$ रेखा के दिशा कोज्या (डी.सी.‘एस) हैं। तो

$$ \frac{l}{a}=\frac{m}{b}=\frac{n}{c}=k \text{ (say), } k \text{ being a constant. } $$

इस प्रकार $ \qquad l=a k, m=b k, n=c k $

लेकिन $ \qquad l^{2}+m^{2}+n^{2}=1 $

इस प्रकार $ \qquad k^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=1 $

या $ \qquad k= \pm \frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} $

अतः, (1) से रेखा के डी.सी.‘एस हैं $ \qquad l= \pm \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}, m= \pm \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}, n= \pm \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} $

जहाँ, $k$ के इच्छित चिह्न के आधार पर, $l, m$ और $n$ के लिए एक धनात्मक या ऋणात्मक चिह्न लिया जाता है। किसी भी रेखा के लिए, $a, b, c$ एक रेखा के दिशा अनुपात हैं, तो $k a, k b, k c ; k \neq 0$ भी दिशा अनुपातों का एक सेट है। इस प्रकार, किसी भी रेखा के दो दिशा अनुपातों के सेट भी समानुपाती होते हैं। इसके अतिरिक्त, किसी भी रेखा के लिए दिशा अनुपातों के अनंत सेट होते हैं।

11.2.1 दो बिन्दुओं के माध्यम से गुजरने वाली रेखा के दिशा कोज्या

चूंकि दो दिए गए बिन्दुओं के बीच एक और केवल एक रेखा गुजरती है, इसलिए हम दिए गए बिन्दुओं $P(x_1, y_1, z_1)$ और $Q(x_2, y_2, z_2)$ के माध्यम से गुजरने वाली रेखा के दिशा कोज्या को निम्नलिखित तरीके से निर्धारित कर सकते हैं (Fig 11.2 (ए))।

Fig 11.2

$l, m, n$ रेखा PQ के दिशा कोज्या हैं और $\alpha, \beta$ और $\gamma$ को $x, y$ और $z$-अक्षों के साथ क्रमशः घिरती हैं।

$P$ और $Q$ से $XY$-ज्यामिति को $R$ और $S$ तक लम्बवत् खींचें। $P$ से $QS$ को $N$ तक लम्बवत् खींचें। अब, आंतरिक खण्ड $PNQ, \angle PQN=\gamma$ (Fig 11.2 (ब)) में।

$$ \begin{aligned} & \cos \gamma=\frac{\mathrm{NQ}}{\mathrm{PQ}}=\frac{z _{2}-z _{1}}{\mathrm{PQ}} \\ & \cos \alpha=\frac{x _{2}-x _{1}}{\mathrm{PQ}} \text { और } \cos \beta=\frac{y _{2}-y _{1}}{\mathrm{PQ}} \end{aligned} $$

इस प्रकार अतः, बिन्दुओं $P(x_1, y_1, z_1)$ और $Q(x_2, y_2, z_2)$ के माध्यम से गुजरने वाली रेखा के दिशा कोज्या हैं

$$ \frac{x_2-x_1}{PQ}, \frac{y_2-y_1}{PQ}, \frac{z_2-z_1}{PQ} $$

जहाँ $ \qquad PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}} $

नोट बिन्दुओं $P(x_1, y_1, z_1)$ और $Q(x_2, y_2, z_2)$ के माध्यम से गुजरने वाली रेखा के दिशा अनुपात को निम्नलिखित के रूप में लिया जा सकता है

$$ x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1 \text{ or } x_1-x_2, y_1-y_2, z_1-z_2 $$

उदाहरण 1 यदि एक रेखा $90^{\circ}, 60^{\circ}$ और $30^{\circ}$ को $x, y$ और $z$-अक्षों की धीरे दिशा के साथ क्रमशः घिरती है, तो उसके दिशा कोज्या ज्ञात कीजिए।

समाधान $d . c$। $s$ के दिशा कोज्या $l, m, n$ हैं। तो $l=\cos 90^{\circ}=0, m=\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$, $n=\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$।

उदाहरण 2 यदि एक रेखा के दिशा अनुपात 2, - 1, - 2 हैं, तो उसके दिशा कोज्या निर्धारित कीजिए।

समाधान दिशा कोज्या हैं

$$ \frac{2}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}}, \frac{-1}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}}, \frac{-2}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}} $$

या $\qquad \frac{2}{3}, \frac{-1}{3}, \frac{-2}{3}$

उदाहरण 3 दो बिन्दुओं $(-2,4,-5)$ और $(1,2,3)$ के माध्यम से गुजरने वाली रेखा के दिशा कोज्या ज्ञात कीजिए।

समाधान हम जानते हैं कि दो बिन्दुओं $P(x_1, y_1, z_1)$ और $Q(x_2, y_2, z_2)$ के माध्यम से गुजरने वाली रेखा के दिशा कोज्या निम्नलिखित द्वारा दिए गए हैं

जहाँ $ \qquad \frac{x_2-x_1}{PQ}, \frac{y_2-y_1}{PQ}, \frac{z_2-z_1}{PQ} $

$$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}} $$

$P$ $(-2,4,-5)$ है और $Q$ $(1,2,3)$ है।

तो $ \qquad P Q=\sqrt{(1-(-2))^{2}+(2-4)^{2}+(3-(-5))^{2}}=\sqrt{77} $

इस प्रकार, दो बिन्दुओं के माध्यम से गुजरने वाली रेखा के दिशा कोज्या हैं

$ \qquad \frac{3}{\sqrt{77}}, \frac{-2}{\sqrt{77}}, \frac{8}{\sqrt{77}} $

उदाहरण 4 $x, y$ और $z$-अक्ष के दिशा कोज्या ज्ञात कीजिए।

समाधान $x$-अक्ष $0^{\circ}, 90^{\circ}$ और $90^{\circ}$ को $x, y$ और $z$-अक्षों के साथ क्रमशः घिरता है। इस प्रकार, $x$-अक्ष के दिशा कोज्या $\cos 0^{\circ}, \cos 90^{\circ}, \cos 90^{\circ}$ हैं अर्थात् $1,0,0$। इसी प्रकार, $y$-अक्ष और $z$-अक्ष के दिशा कोज्या $0,1,0$ और $0,0,1$ क्रमशः हैं।

उदाहरण 5 बिन्दुओं A $(2,3,-4), B(1,-2,3)$ और $C(3,8,-11)$ को समानांतर बताइए।

समाधान A और B के माध्यम से गुजरने वाली रेखा के दिशा अनुपात हैं

$1-2,-2-3,3+4$ अर्थात् $-1,-5,7$।

$B$ और $C$ के माध्यम से गुजरने वाली रेखा के दिशा अनुपात $3-1,8+2,-11-3$ हैं, अर्थात् $2,10,-14$।

$AB$ और $BC$ के दिशा अनुपातों के समानुपात स्पष्ट है, इसलिए, $AB$ $BC$ के समानांतर है। लेकिन बिन्दु $B$ $AB$ और $BC$ दोनों के लिए सामान है। इस प्रकार, $A, B, C$ समानांतर बिन्दु हैं।

11.3 अंतरिक्ष में एक रेखा का समीकरण

हमने ग्राफ़ कक्षा ग्राफ़ गणित में दो आयामों में रेखाओं के समीकरणों का अध्ययन किया है, हम अब अंतरिक्ष में एक रेखा के सांकेतिक और कार्टेजियन समीकरणों का अध्ययन करेंगे।

एक रेखा एकाधिकारित है यदि

(ए) यह एक दिए गए बिन्दु से गुजरती है और दिए गए दिशा के साथ, या

(ब) यह दो दिए गए बिन्दुओं से गुजरती है।

11.3.1 एक दिए गए बिन्दु के माध्यम से गुजरने वाली रेखा का समीकरण और $\vec{a}$ दिए गए सांकेतिक $\vec{b}$ के समानांतर

$\vec{a}$ दिए गए बिन्दु A के स्थान का सांकेतिक $O$ क्रमांकित ज्यामिति प्रणाली के शुरुआत से संबंधित है। $l$ रेखा $A$ बिन्दु से गुजरती है और $\vec{b}$ दिए गए सांकेतिक के समानांतर है। $\vec{r}$ रेखा $P$ पर किसी अनिश्चित बिन्दु $\overrightarrow{{}AP}$ का स्थान का सांकेतिक है (Fig 11.3)।

तो $\overrightarrow{{}AP}$ $\vec{b}$ सांकेतिक के समानांतर है, अर्थात् $\overrightarrow{{}AP}=\lambda \vec{b}$, जहाँ $\lambda$ कुछ वास्तविक संख्या है।

लेकिन $$ \overrightarrow{{}AP}=\overrightarrow{{}OP}-\overrightarrow{{}OA} $$

अर्थात् $$\lambda \vec{b}=\vec{r}-\vec{a}$$

विपरीत भी, पैरामीटर $\lambda$ के प्रत्येक मान के लिए, यह समीकरण रेखा $P$ पर एक बिन्दु $\vec{b}=a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k}$ का स्थान का सांकेतिक देता है। इस प्रकार, रेखा का सांकेतिक समीकरण $$ \begin{equation*} \vec{r}=\vec{a}+\lambda \vec{b} \tag{1} \end{equation*} $$ द्वारा दिया जाता है।

टिप्पणी $\vec{b}=a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k}$, तो $a, b, c$ रेखा के दिशा अनुपात हैं और विपरीत भी, $a, b, c$ एक रेखा के दिशा अनुपात हैं, तो $\vec{b}=a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k}$ रेखा के समानांतर होगा। यहाँ, $b$ को $|\vec{b}|$ से गलती से नहीं मिलाया जाना चाहिए। सांकेतिक रूप से कार्टेजियन रूप से प्राप्त करना

$A$ बिन्दु के $(x_1, y_1, z_1)$ को दिए गए बिन्दु $a, b, c$ के दिशा अनुपात रेखा के हैं। किसी भी बिन्दु $P$ के $(x, y, z)$ को विचार करें। तो

$$ \overrightarrow{{}r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k} ; \overrightarrow{{}a}=x_1 \hat{i}+y_1 \hat{j}+z_1 \hat{k} $$

और $$ \vec{b}=a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k} $$

इन मानों को (1) में प्रतिस्थापित करके $\hat{i}, \hat{j}$ और $\hat{k}$ के गुणकों को समान करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{equation*} x=x _{1}+\lambda a ; \quad y=y _{1}+\lambda b ;\quad z=z _{1}+\lambda c \tag{2} \end{equation*} $$

ये रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण हैं। पैरामीटर $\lambda$ को (2) से अपव्यय करके, हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{equation*} \frac{x-x _{1}}{a}=\frac{y-y _{1}}{b}=\frac{z-z _{1}}{c} \tag{3} \end{equation*} $$

यह रेखा का कार्टेजियन समीकरण है।

नोट $l, m, n$ रेखा के दिशा कोज्या हैं, तो रेखा का समीकरण है

$$ \frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n} $$

उदाहरण 6 बिन्दु $(5,2,-4)$ के माध्यम से और $3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k}$ दिए गए सांकेतिक के समानांतर होने वाली रेखा के सांकेतिक और कार्टेजियन समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान हमारे पास है

$$ \vec{a}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k} \text{ and } \vec{b}=3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k} $$

इस प्रकार, रेखा का सांकेतिक समीकरण है

$$ \vec{r}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k}) $$

अब, $\vec{r}$ रेखा $P(x, y, z)$ पर किसी भी बिन्दु $\lambda$ का स्थान का सांकेतिक है।

इस प्रकार, $$\quad x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k})$$ $$ =(5+3 \lambda) \hat{i}+(2+2 \lambda) \hat{j}+(-4-8 \lambda) \hat{k} $$

$\lambda$ को अपव्यय करके, हम प्राप्त करते हैं

$$ \frac{x-5}{3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+4}{-8} $$

जो रेखा के कार्टेजियन रूप में समीकरण है।

11.4 दो रेखाओं के बीच कोण

$L_1$ और $L_2$ शुरुआत से गुजरने वाली दो रेखाएँ $a_1, b_1, c_1$ और $a_2, b_2, c_2$ के दिशा अनुपातों के साथ हैं। $P$ $L_1$ पर एक बिन्दु है और $Q$ $L_2$ पर एक बिन्दु है। Fig 11.6 में दिए गए $OP$ और $OQ$ के रूप में दिए गए निर्देशित रेखाएँ विचार करें। $\theta$ OP और OQ के बीच छोटा कोण है। अब याद करें कि निर्देशित रेखा खंड OP और OQ $a_1, b_1, c_1$ और $a_2, b_2, c_2$ के घटकों के साथ सांकेतिक हैं। इस प्रकार, उनके बीच कोण $\theta$ $\cos \theta=\left|\frac{a _{1} a _{2}+b _{1} b _{2}+c _{1} c _{2}}{\sqrt{a _{1}^{2}+b _{1}^{2}+c _{1}^{2}} \sqrt{a _{2}^{2}+b _{2}^{2}+c _{2}^{2}}}\right|$ द्वारा दिया जाता है।

$\sin \theta$ के आधार पर रेखाओं के बीच कोण $L_1$ द्वारा दिया जाता है

$$ \begin{aligned} \sin \theta & =\sqrt{1-\cos ^{2} \theta} \\ & =\sqrt{1-\frac{(a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2)^{2}}{(a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2})(a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2})}} \\ & =\frac{\sqrt{(a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2})(a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2})-(a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2)^{2}}}{\sqrt{(a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2})} \sqrt{(a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2})}} \\ & =\frac{\sqrt{(a_1 b_2-a_2 b_1)^{2}+(b_1 c_2-b_2 c_1)^{2}+(c_1 a_2-c_2 a_1)^{2}}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2}} \sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2}}} \end{aligned} $$

नोट यदि रेखाएँ $L_1$ और $L_2$ शुरुआत से नहीं गुजरती हैं, तो हम $L_1^{\prime}$ और $L_2^{\prime}$ ले सकते हैं जो $L_1$ और $L_2$ के समानांतर हैं और क्रमशः शुरुआत से गुजरती हैं।

यदि बजाय रेखाओं $L_1$ और $L_2$ के दिशा अनुपातों के लिए दिशा कोज्या, अर्थात् $l_1, m_1, n_1$ $L_1$ के लिए और $l_2, m_2, n_2$ $L_2$ के लिए दिए गए हैं, तो (1) और (2) निम्नलिखित रूप लेते हैं:

$$ \cos \theta=|l_1 l_2+m_1 m_2+n_1 n_2| \quad(\text{ as } l_1^{2}+m_1^{2}+n_1^{2}=1=l_2^{2}+m_2^{2}+n_2^{2}) $$

और $$ \sin \theta=\sqrt{(l_1 m_2-l_2 m_1)^{2}-(m_1 n_2-m_2 n_1)^{2}+(n_1 l_2-n_2 l_1)^{2}} $$

$a_1, b_1, c_1$ और $a_2, b_2, c_2$ के दिशा अनुपातों वाली दो रेखाएँ हैं

(ए) $\theta=90^{\circ}$ द्वारा (1) द्वारा $\theta=0$ के लिए लंबवत हैं

$$ a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2=0 $$

(ब) $\theta=0$ द्वारा (2) द्वारा $\theta$ के लिए समानांतर हैं

$$\frac{\boldsymbol{a} _{\mathbf{1}}}{\boldsymbol{a} _{2}}=\frac{\boldsymbol{b} _{\mathbf{1}}}{\boldsymbol{b} _{\mathbf{2}}}=\frac{\boldsymbol{c} _{\mathbf{1}}}{\boldsymbol{c} _{\mathbf{2}}}$$

अब, हम दो रेखाओं के बीच कोण ज्ञात करते हैं जब उनके समीकरण दिए गए हों। $\theta$ दो रेखाओं $\vec{r}=\vec{a} _{1}+\lambda \vec{b} _{1}$ और $\vec{r}=\vec{a} _{2}+\mu \vec{b} _{2}$ के बीच कोण के लिए $\vec{r}=\vec{a} _{1}+\lambda \vec{b} _{1}$ के कार्टेजियन रूप में, $\theta$ रेखाओं के बीच कोण है

तो $$ \begin{aligned} \cos \theta & =\left|\frac{\vec{b}_1 \cdot \vec{b}_2}{\left|\vec{b}_1\right|\left|\vec{b}_2\right|}\right|
\end{aligned} $$

$$ \frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1} \tag{1} $$

और $$ \frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2} \tag{2} $$

जहाँ, $a_1, b _{1,} c_1$ और $a _{2,}, b_2, c_2$ क्रमशः रेखाओं (1) और (2) के दिशा अनुपात हैं, तो

$$ \cos \theta=|\frac{a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2}} \sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2}}}| $$

उदाहरण 7 दो रेखाओं के बीच कोण ज्ञात कीजिए जो निम्नलिखित द्वारा दी गई हैं

$$ \vec{r}=3 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}) $$

और $$ \vec{r}=5 \hat{i}-2 \hat{j}+\mu(3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}) $$

समाधान $ \vec{b} _ {1}=\hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k} $ और $ \vec{b} _ {2}=3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k} $ यहाँ हैं

दो रेखाओं के बीच कोण $\theta$ द्वारा दिया जाता है

$$ \begin{aligned} \cos \theta & = |\frac{ \vec{b} _ {1} \cdot \vec{b} _ {2}}{| \vec{b} _ {1}|| \vec{b} _ {2}|}| = |\frac{(\hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k}) \cdot(3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k})}{\sqrt{1 + 4+ 4} \sqrt{9 + 4 + 36}}| \\ & =|\frac{3+4+12}{3 \times 7}|=\frac{19}{21} ) \end{aligned} $$

इस प्रकार $$ \theta=\cos ^{-1}\left(\frac{19}{21}\right) $$

उदाहरण 8 दो रेखाओं के बीच कोण ज्ञात कीजिए

और $$ \begin{aligned} & \frac{x+3}{3}=\frac{y-1}{5}=\frac{z+3}{4} \\ & \frac{x+1}{1}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-5}{2} \end{aligned} $$

समाधान पहली रेखा के दिशा अनुपात 3, 5, 4 हैं और दूसरी रेखा के दिशा अनुपात $1,1,2$ हैं। $\theta$ उनके बीच कोण है, तो

$$ \cos \theta=|\frac{3.1+5.1+4.2}{\sqrt{3^{2}+5^{2}+4^{2}} \sqrt{1^{2}+1^{2}+2^{2}}}|=\frac{16}{\sqrt{50} \sqrt{6}}=\frac{16}{5 \sqrt{2} \sqrt{6}}=\frac{8 \sqrt{3}}{15} $$

इस प्रकार, अपेक्षित कोण $\cos ^{-1}(\frac{8 \sqrt{3}}{15})$ है।

11.5 दो रेखाओं के बीच सबसे छोटी दूरी

यदि अंतरिक्ष में दो रेखाएँ एक बिन्दु पर छूती हैं, तो उनके बीच सबसे छोटी दूरी शून्य है। इसके अतिरिक्त, यदि अंतरिक्ष में दो रेखाएँ समानांतर हैं, तो उनके बीच सबसे छोटी दूरी लंबवत दूरी होगी, अर्थात् एक रेखा पर एक बिन्दु से दूसरी रेखा पर खींची गई लंबवत की लंबाई।

इसके अतिरिक्त, अंतरिक्ष में रेखाएँ हैं जो न तो छूती हैं और न ही समानांतर हैं। वास्तव में, ऐसे रेखाओं का जोड़ असमानांतर हैं और कॉप्लानर नहीं हैं और उन्हें विषम रेखाएँ कहते हैं। उदाहरण के लिए, चलो 1, 3, 2 इकाइयों के आकार के एक कमरे का विचार करते हैं

Fig 11.5 $x, y$ और $z$-अक्षों के क्रमानुसार Fig 11.5।

जो छत के आसपास विक्षिप्त होती है और रेखा DB छत के A के एक कोने से सीधे ऊपर गुजरती है और दीवार के आसपास विक्षिप्त होती है। ये रेखाएँ विषम हैं क्योंकि वे समानांतर नहीं हैं और इन्हीं तक मिलती-जुलती नहीं हैं।

दो रेखाओं के बीच सबसे छोटी दूरी का अर्थ एक ऐसी रेखा का संयोजन है जो एक रेखा के एक बिन्दु को दूसरी रेखा के एक बिन्दु से जोड़ती है जिससे प्राप्त खंड की लंबाई सबसे छोटी हो। विषम रेखाओं के लिए, सबसे छोटी दूरी की रेखा दोनों रेखाओं के लंबवत होगी।

11.5.1 दो विषम रेखाओं के बीच दूरी

हम अब निम्नलिखित तरीके से दो विषम रेखाओं के बीच सबसे छोटी दूरी निर्धारित करते हैं: $l_1$ और $l_2$ दो विषम रेखाएँ हैं जिनके समीकरण हैं (Fig. 11.6)

और $$ \vec{r} = \vec{a} _ {1}+\lambda \vec{b} _ {1} \tag{1}$$ $$ \vec{r} = \vec{a} _ {2}+\mu \vec{b} _ {2} \tag{2} $$

$ S $ $l_ {1} $ पर किसी भी बिन्दु $ \overrightarrow{{}a}_ {1} $ के साथ $ T $ $ l_ {2} $ पर, $ \overrightarrow{{}a}_ {2} $ के साथ लें। तो सबसे छोटी दूरी सांकेतिक की परिमाण $\overrightarrow{{}PQ}$ के आधार पर $l_1$ और $l_2$ के बीच सबसे छोटी दूरी की दिशा (See 10.6.2) के दिशा में ST के प्रक्षेपण के समान होगा।

$ \vec{b} _1$ और $ \vec{b} _2$ दोनों के लंबवत होने के कारण $\hat{n}$ $\overrightarrow{{}PQ}$ के दिशा में एक इकाई सांकेतिक $d$ होगा

Fig 11.6

$$ \hat{n} = \frac{ \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}}{| \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}|} \tag{3} $$

तो $$ \overrightarrow{{}PQ}=d \hat{n} $$

जहाँ, $d$ सबसे छोटी दूरी सांकेतिक की परिमाण है। $\theta$ $\overrightarrow{{}ST}$ और $\overrightarrow{{}PQ}$ के बीच कोण है। तो

लेकिन $$ \begin{aligned} PQ & = ST|\cos \theta| \\ \cos \theta & = |\frac{\overrightarrow{{}PQ} \cdot \overrightarrow{{}ST}}{|\overrightarrow{{}PQ}||\overrightarrow{{}ST}|}| \\ & = |\frac{d \hat{n} \cdot( \vec{a} _ {2}- \vec{a} _ {1})}{d ST}| \quad(\text{ since } \overrightarrow{{}ST}= \vec{a} _ {2}- \vec{a} _ {1}) \\ & = |\frac{( \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}) \cdot( \vec{a} _ {2}- \vec{a} _ {1})}{ST| \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}|}| \end{aligned} $$

इस प्रकार, अपेक्षित सबसे छोटी दूरी है

या $$ \begin{aligned} & d = PQ = ST|\cos \theta| \\ & \boldsymbol{{}d} = |\frac{(\overrightarrow{{}b}_ {1} \times \overrightarrow{{}b}_ {2}) \cdot( \vec{a} _ {2} \times \vec{a} _ {1})}{| \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}|}| \end{aligned} $$

कार्टेजियन रूप

और $$ l _{1}: \frac{x-x _{1}}{a _{1}}=\frac{y-y _{1}}{b _{1}}=\frac{z-z _{1}}{c _{1}} $$

और $$ l _{2}: \frac{x-x _{2}}{a _{2}}=\frac{y-y _{2}}{b _{2}}=\frac{z-z _{2}}{c _{2}} $$

$$ \frac{\left|\begin{array}{ccc} x _{2}-x _{1} & y _{2}-y _{1} & z _{2}-z _{1} \\ a _{1} & b _{1} & c _{1} \\ a _{2} & b _{2} & c _{2} \end{array}\right|}{\sqrt{\left(b _{1} c _{2}-b _{2} c _{1}\right)^{2}+\left(c _{1} a _{2}-c _{2} a _{1}\right)^{2}+\left(a _{1} b _{2}-a _{2} b _{1}\right)^{2}}} $$

11.5.2 समानांतर रेखाओं के बीच दूरी

$l_1$ और $l_2$ यदि दो रेखाएँ समानांतर हैं, तो वे कॉप्लानर हैं। चूंकि $ \vec{a} _1$ $S$ $l_1$ पर एक बिन्दु $ \vec{a} _2$ $T$ $l_2$ पर एक बिन्दु का स्थान का सांकेतिक है Fig 11.7।

$l_1, l_2$ कॉप्लानर हैं, $T$ से रेखा $l_1$ पर लंबवत का अंतर्धान $P$ है, तो रेखाओं $l_1$ और $l_2=|TP|$ के बीच दूरी।

$\theta$ $\overrightarrow{{}ST}$ और $\vec{b}$ सांकेतिकों के बीच कोण है। तो

$$ \vec{b} \times \overrightarrow{{}ST}=(|\vec{b}||\overrightarrow{{}ST}| \sin \theta) \hat{n} \ldots \tag{3} $$

जहाँ $\hat{n}$ $l_1$ और $l_2$ रेखाओं के ज्यामिति के लंबवत इकाई सांकेतिक है।

लेकिन $$ \overrightarrow{{}ST} = \vec{a} _2 - \vec{a} _1 $$

इस प्रकार, (3) से, हम प्राप्त करते हैं $$ \begin{matrix} & \quad \vec{b} \times ( \vec{a} _2 - \vec{a} _1) = \vec{b} , |PT| \hat{n} \quad (\text{since } PT = ST \sin \theta) \\ \text{i.e.,} & |\vec{b} \times ( \vec{a} _2 - \vec{a} _1)| = |\vec{b}| , |PT| \cdot 1 \quad (\text{as } |\hat{n}| = 1) \end{matrix} $$

इस प्रकार, दिए गए समानांतर रेखाओं के बीच दूरी है

$$ d=|\overrightarrow{{}\mathbf{P T}}| = |\frac{\vec{b} \times(\vec{a} _ {2}-\vec{a} _ {1})}{|\vec{b}|}| $$

उदाहरण 9 $l_1$ और $l_2$ के बीच सबसे छोटी दूरी ज्ञात कीजिए जिनके सांकेतिक समीकरण हैं

$$ \begin{aligned} & \vec{r} =\hat{i}+\hat{j}+\lambda(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) \\ \text{ and } \qquad& \vec{r} =2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}+\mu(3 \hat{i}-5 \hat{j}+2 \hat{k}) \end{aligned} $$

समाधान $\vec{r} = \vec{a} _ {1} + \lambda \vec{b} _ {1} $ और $ \overrightarrow{{}r} = \overrightarrow{{}a} _ {2} + \mu \overrightarrow{{}b} _ {2} $ के साथ (1) और (2) की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & a _{1}=\hat{i}+\hat{j}, b _{1}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k} \\ & a _{2}=2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k} \text { and } b _{2}=3 \hat{i}-5 \hat{j}+2 \hat{k} \end{aligned} $

इस प्रकार $\qquad a _{2}-a _{1}=\hat{i}-\hat{k}$

और $\qquad b _{1} \times b _{2}=(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) \times(3 \hat{i}-5 \hat{j}+2 \hat{k})$

$$ =\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & -5 & 2 \end{array}\right|=3 \hat{i}-\hat{j}-7 \hat{k} $$

तो, $$ \left|b _{1} \times b _{2}\right|=\sqrt{9+1+49}=\sqrt{59} $$

इस प्रकार, दिए गए रेखाओं के बीच सबसे छोटी दूरी द्वारा दी गई है

$$ d=|\frac{(\overrightarrow{{}b}_ {1} \times \overrightarrow{{}b}_ {2}) \cdot(\overrightarrow{{}a}_ {2}-\overrightarrow{{}a}_ {1})}{|\overrightarrow{{}b}_ {1} \times \overrightarrow{{}b}_ {2}|}|=\frac{|3-0+7|}{\sqrt{59}}=\frac{10}{\sqrt{59}} $$

उदाहरण 10 $l_1$ और $l_2$ के बीच दूरी ज्ञात कीजिए जो निम्नलिखित द्वारा दी गई हैं $$ \begin{aligned} & \vec{r}=\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k}) \\ \text{ and } \qquad& \vec{r}=3 \hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k}+\mu(2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k}) \end{aligned} $$

समाधान दो रेखाएँ समानांतर हैं (क्यों?) हमारे पास है

$$ \overrightarrow{{}a}_ {1}=\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}, \overrightarrow{{}a}_ {2}=3 \hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k} \text{ and } \vec{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k} $$

इस प्रकार, रेखाओं के बीच दूरी द्वारा दी गई है

$$ \begin{aligned} & d =\left|\frac{\vec{b} \times( \vec{a} _ {2}- \vec{a} _ {1})}{|\vec{b}|}\right| =\left|\frac{ \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 6 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} }{\sqrt{4+9+36}}\right| , \\ &=\frac{|-9 \hat{i}+14 \hat{j}-4 \hat{k}|}{\sqrt{49}}=\frac{\sqrt{293}}{\sqrt{49}}=\frac{\sqrt{293}}{7} \\ \end{aligned} $$

सारांश

• एक रेखा के दिशा कोज्या उस रेखा के कोज्या हैं जो क्रमानुसार निर्देशित ज्यामिति अक्षों की धीरे दिशा के कोणों के साथ घिरती हैं।

• $l, m, n$ एक रेखा के दिशा कोज्या हैं, तो $l^{2}+m^{2}+n^{2}=1$।

• बिन्दुओं $P(x_1, y_1, z_1)$ और $Q(x_2, y_2, z_2)$ के माध्यम से गुजरने वाली रेखा के दिशा कोज्या हैं

• $ \frac{x_2-x_1}{PQ}, \frac{y_2-y_1}{PQ}, \frac{z_2-z_1}{PQ} $

$PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}}$ के लिए

• $\Delta$ एक रेखा के दिशा अनुपात उन संख्याओं हैं जो एक रेखा के दिशा कोज्याओं के समानुपाती होते हैं।
• $l, m, n$ दिशा कोज्या और $a, b, c$ एक रेखा के दिशा अनुपात हैं तो

$$ l=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} ; m=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} ; n=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} $$

• विषम रेखाएँ अंतरिक्ष में रेखाएँ हैं जो न तो समानांतर हैं और न ही छूती हैं। वे अलग-अलग ज्यामिति में स्थित हैं।
• विषम रेखाओं के बीच कोण विषम रेखाओं से कोई भी बिन्दु (शुरुआत से गुजरने वाली रेखा के माध्यम से आदि) से खींची गई दो छूती रेखाओं के बीच कोण है।
• $l_1, m_1, n_1$ और $l_2, m_2, n_2$ दो रेखाओं के दिशा कोज्या हैं; $\theta$ दो रेखाओं के बीच छोटा कोण है; तो

$$ \cos \theta=|l_1 l_2+m_1 m_2+n_1 n_2| $$

$a_1, b_1, c_1$ और $a_2, b_2, c_2$ दो रेखाओं के दिशा अनुपात हैं और $\theta$ दो रेखाओं के बीच छोटा कोण है; तो

$$ \cos \theta=|\frac{a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2}} \sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2}}}| $$

• $\vec{a}$ के स्थान का सांकेतिक और $\vec{b}$ दिए गए सांकेतिक के समानांतर गुजरने वाली एक रेखा का सांकेतिक समीकरण $\vec{r}=\vec{a}+\lambda \vec{b}$ है।

• $(x_1, y_1, z_1)$ बिन्दु से गुजरने वाली एक रेखा का समीकरण $l, m, n$ के दिशा कोज्या के साथ है $ \frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n} $

• $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के स्थान के सांकेतिकों के दो बिन्दुओं के माध्यम से गुजरने वाली एक रेखा का सांकेतिक समीकरण $\vec{r}=\vec{a}+\lambda(\vec{b}-\vec{a})$ है।

• $\Delta$ $\theta$ और $\vec{r}= \vec{a} _ {1}+\lambda \vec{b} _ {1}$ के बीच छोटा कोण $\vec{r}= \vec{a} _ {2}+\lambda \vec{b} _ {2}$ है, तो $\cos \theta=|\frac{ \vec{b} _ {1} \cdot \vec{b} _ {2}}{| \vec{b} _ {1}|| \vec{b} _ {2}|}|$

• $\checkmark$ $\frac{x-x_1}{l_1}=\frac{y-y_1}{m_1}=\frac{z-z_1}{n_1}$ और $\frac{x-x_2}{l_2}=\frac{y-y_2}{m_2}=\frac{z-z_2}{n_2}$

• दो रेखाओं के समीकरण हैं, तो दो रेखाओं के बीच छोटा कोण $\cos \theta=|l_1 l_2+m_1 m_2+n_1 n_2|$ द्वारा दिया जाता है।

• दो विषम रेखाओं के बीच सबसे छोटी दूरी दोनों रेखाओं के लंबवत होने वाला रेखा खंड है।

• $\vec{r}= \vec{a} _ {1}+\lambda \vec{b} _ {1}$ और $\vec{r}= \vec{a} _ {2}+\mu \vec{b} _ {2}$ के बीच सबसे छोटी दूरी है

$$ |\frac{( \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}) \cdot( \vec{a} _ {2}- \vec{a} _ {1})}{| \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}|}| $$

• $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}$ और $ \frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2} \text{ is } $

$$ \frac{ \begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} }{\sqrt{(b_1 c_2-b_2 c_1)^{2}+(c_1 a_2-c_2 a_1)^{2}+(a_1 b_2-a_2 b_1)^{2}}} $$

$\vec{r}= \vec{a} _ {1}+\lambda \vec{b}$ और $\vec{r}= \vec{a} _ {2}+\mu \vec{b}$ के बीच दूरी है

$$|\frac{\vec{b} \times( \vec{a} _ {2}- \vec{a} _ {1})}{|\vec{b}|}|$$