अस्पष्ट गणित के लिए दुनिया में कोई स्थायी स्थान नहीं है… गणित की सुंदरता को परिभाषित करना बहुत कठिन हो सकता है, लेकिन किसी भी प्रकार की सुंदरता के समान है, हम एक सुंदर कविता के बारे में जो कुछ भी कह सकते हैं, उसका अर्थ हम नहीं जानते, लेकिन इससे भी बच जाते हैं कि हम उसे पढ़ते ही पहचान लेते हैं। - जी। एच। हार्डी

1.1 परिचय

याद करें कि संबंध और फलन, डोमेन, को-डोमेन और रेंज के अवधारणाओं को कक्षा ग्यारह में संबंध और फलन के अलग-अलग प्रकार और उनके आलेखों के साथ परिचित किया गया है। गणित में ‘संबंध’ शब्द की अवधारणा को अंग्रेजी भाषा में संबंध के अर्थ से लिया गया है, जिसके अनुसार दो वस्तुओं या मात्राओं के बीच एक पहचाने जा सकने वाला संबंध या जोड़ा हो तो वे दोनों वस्तुएं या मात्राएं संबंधित हैं। एक स्कूल के कक्षा बारह के विद्यार्थियों का समुच्चय A है और उसी स्कूल के कक्षा ग्यारह के विद्यार्थियों का समुच्चय B है। तो संबंधों के कुछ उदाहरण $A$ से $B$ तक हैं:

(i) $\{(a, b) \in A \times B: \text{a is brother of b}\}$

(ii) $\{(a, b) \in A \times B: \text{a is sister of b}\}$,

लेजुन डीरिचल (1805-1859)

(iii) $\{(a, b) \in A \times B : \text{age of a is greater than age of b}\}$,

(iv) $\{(a, b) \in A \times B$: ए के अंतिम परीक्षा में प्राप्त कुल अंक बी के अंतिम परीक्षा में प्राप्त कुल अंकों से कम है $\}$

(v) $\{(a, b) \in A \times B: a$ जहां $b\}$ के समान स्थान में रहता है। हालांकि, इसके बारे में अवधारणात्मक रूप से, हम $R$ से $A$ तक $B$ के एक अनिश्चित उपसमुच्चय के रूप में $A \times B$ के गणितीय रूप से संबंध $R$ की परिभाषा करते हैं।

अगर $(a, b) \in R$, हम कहते हैं कि $a$ $b$ के साथ $R$ संबंध में है और हम $a R b$ के रूप में लिखते हैं। सामान्य रूप से, $(a, b) \in R$, हम $a$ और $b$ के बीच कोई पहचाने जा सकने वाला संबंध या जोड़ा होना चाहते नहीं। कक्षा ग्यारह में देखा गया है कि फलन संबंधों का एक विशेष प्रकार है।

इस अध्याय में, हम संबंधों और फलनों के अलग-अलग प्रकार, फलनों की संयोजन, उलटी फलन और द्विआधारी ऑपरेशन का अध्ययन करेंगे।

1.2 संबंधों के प्रकार

इस खंड में, हम अलग-अलग प्रकार के संबंधों का अध्ययन करना चाहते हैं। हम जानते हैं कि समुच्चय $A$ में संबंध $A \times A$ का एक उपसमुच्चय है। इस प्रकार, खाली समुच्चय $\phi$ और $A \times A$ दो अत्यंत संबंध हैं। उदाहरण के लिए, $R$ समुच्चय $A=\{1,2,3,4\}$ में दिया गया $R=\{(a, b): a-b=10\}$ के द्वारा संबंध $R$ परिचित कराएँ। यह खाली समुच्चय है, क्योंकि कोई भी जोड़ा $(a, b)$ को $a-b=10$ को पूर्णतः विभाजित करने की अवधारणा के लिए इस संबंध $R^{\prime}=\{(a, b):|a-b| \geq 0\}$ के अंतिम परीक्षा में प्राप्त कुल अंकों से कम है। इसी प्रकार, $R^{\prime}=\{(a, b):|a-b| \geq 0\}$ पूरे समुच्चय $A \times A$ है, क्योंकि समुच्चय A $\times$ A में सभी जोड़े $(a, b)$ $|a-b| \geq 0$ को पूर्णतः विभाजित करते हैं। इन दोनों अत्यंत उदाहरणों से हमें निम्नलिखित परिभाषाएं प्राप्त होती हैं।

परिभाषा 1 एक समुच्चय $A$ में संबंध $R$ को खाली संबंध कहा जाता है, अगर $A$ के किसी भी अवयव $A$ के किसी भी अवयव $R=\phi \subset A \times A$ के साथ संबंधित नहीं है, अर्थात् $R=\phi \subset A \times A$।

परिभाषा 2 एक समुच्चय $A$ में संबंध $R$ को ब्रह्मांडीय संबंध कहा जाता है, अगर $A$ के प्रत्येक अवयव $A$ के प्रत्येक अवयव $R=A \times A$ के साथ संबंधित है, अर्थात् $R=A \times A$।

खाली संबंध और ब्रह्मांडीय संबंध को कभी-कभी सामान्य संबंध कहा जाता है।

उदाहरण 1 $A$ एक लड़कों के स्कूल के सभी विद्यार्थियों का समुच्चय है। $R$ $A$ में $R=\{(a, b): a$ के द्वारा दिया गया संबंध $b\}$ की बहन है को खाली संबंध और $R^{\prime}=\{(a, b):$ $a$ और $b$ के ऊंचाई के बीच का अंतर 3 मीटर से कम है $\}$ को ब्रह्मांडीय संबंध दिखाएँ।

समाधान स्कूल लड़कों का स्कूल है, इसलिए स्कूल के किसी भी विद्यार्थी को स्कूल के किसी भी विद्यार्थी की बहन नहीं हो सकती। इसलिए, $R=\phi$, जिससे $R$ को खाली संबंध दिखाया जा सकता है। यह भी स्पष्ट है कि किसी भी दो विद्यार्थियों की ऊंचाई के बीच का अंतर 3 मीटर से कम होना चाहिए। इससे $R^{\prime}=A \times A$ को ब्रह्मांडीय संबंध दिखाया जा सकता है।

टिप्पणी कक्षा ग्यारह में, हमने संबंधों को दो तरीकों से प्रदर्शित किया है, अर्थात् रेस्टर विधि और समुच्चय निर्माता विधि। हालांकि, $R$ समुच्चय $\{1,2,3,4\}$ में $R$ $=\{(a, b): b=a+1\}$ के द्वारा परिभाषित संबंध $a R b$ अगर और केवल अगर $b=a+1$ के द्वारा कई लेखकों द्वारा भी व्यक्त किया जाता है। हम इस चिह्नन का उपयोग जब जब उपयुक्त महसूस करें, तब तब भी कर सकते हैं।

अगर $(a, b) \in R$, हम कहते हैं कि $a$ $b$ के साथ संबंधित है और हम $a R b$ के रूप में इसे दर्शाते हैं।

गणित में सबसे महत्वपूर्ण संबंध में से एक, जो गणित में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, एक समतुल्य संबंध है। समतुल्य संबंध का अध्ययन करने के लिए, हम पहले तीन प्रकार के संबंधों, अर्थात् आत्मसात्मक, सममित और परावृत्त संबंधों पर विचार करते हैं।

परिभाषा 3 एक समुच्चय $A$ में संबंध $R$ को कहा जाता है कि

(i) अगर $(a, a) \in R$, $a \in A$ के लिए प्रत्येक $a \in A$,

(ii) सममित, अगर $(a_{1}, a_{2}) \in R$ दिखाता है कि $(a_{2}, a_{1}) \in R$, $a_{1}, a_{2} \in A$ के लिए सभी $a_{1}, a_{2} \in A$।

(iii) परावृत्त, अगर $(a_{1}, a_{2}) \in R$ और $(a_{2}, a_{3}) \in R$ दिखाता है कि $(a_{1}, a_{3}) \in R$, $a_{1}, a_{2}$, $a_{3} \in A$ के लिए सभी $a_{1}, a_{2}$, $a_{3} \in A$।

परिभाषा 4 एक समुच्चय $A$ में संबंध $R$ को समतुल्य संबंध कहा जाता है अगर $R$ आत्मसात्मक, सममित और परावृत्त है।

उदाहरण 2 $T$ क्षेत्रफल के सभी त्रिभुजों का समुच्चय है और $R$ $T$ में $R=\{(T_{1}, T_{2}): T_{1}.$ के द्वारा दिया गया संबंध $.T_{2}\}$ के समानांतर है। $R$ को समतुल्य संबंध दिखाएँ।

समाधान $R$ आत्मसात्मक है, क्योंकि प्रत्येक त्रिभुज अपने समानांतर है। इसके अलावा, $(T_{1}, T_{2}) \in R \Rightarrow T_{1}$ $T_{2} \Rightarrow T_{2}$ के समानांतर है $T_{1} \Rightarrow(T_{2}, T_{1}) \in R$ के समानांतर है। इसलिए, $R$ सममित है। इसी प्रकार, $(T_{1}, T_{2}),(T_{2}, T_{3}) \in R \Rightarrow T_{1}$ $T_{2}$ के समानांतर है $T_{2}$ $T_{3} \Rightarrow T_{1}$ के समानांतर है $T_{3} \Rightarrow(T_{1}, T_{3}) \in R$। इसलिए, $R$ एक समतुल्य संबंध है।

उदाहरण 3 $ Let L$ क्षेत्रफल की सभी रेखाओं का समुच्चय है और $R$ $L$ में $R=\{(L_{1}, L_{2}): L_{1}.$ के द्वारा परिभाषित संबंध $.L_{2}\}$ के लंबवत है। $R$ को सममित लेकिन न तो आत्मसात्मक और न ही परावृत्त दिखाएँ।

समाधान $R$ आत्मसात्मक नहीं है, क्योंकि एक रेखा $L_{1}$ अपने समानांतर नहीं हो सकती, अर्थात् $(L_{1}, L_{1})$ $\notin R$। $(L_{1}, L_{2}) \in R$ सममित है क्योंकि $R$ नहीं परावृत्त है। वास्तव में, अगर $L_{1}$ $L_{2}$ के लंबवत है $L_{2}$ $L_{3}$ के लंबवत है, तो $L_{1}$ $L_{3}$ के लंबवत नहीं हो सकता। असल में, $L_{1}$ $L_{3}$ के समानांतर है, अर्थात् $(L_{1}, L_{2}) \in R,(L_{2}, L_{3}) \in R$ लेकिन $(L_{1}, L_{3}) \notin R$।

आकृति 1.1

उदाहरण 4 $R$ समुच्चय $\{1,2,3\}$ में $\{(1,1),(2,2), (3,3),(1,2),(2,3)\}$ के द्वारा दिया गया संबंध $R$ आत्मसात्मक लेकिन न तो सममित और न ही परावृत्त दिखाएँ।

समाधान $R$ आत्मसात्मक है, क्योंकि $(1,1),(2,2)$ और $(3,3)$ $R$ में स्थित हैं। $R$ सममित नहीं है, क्योंकि $(1,2) \in R$ लेकिन $(2,1) \notin R$। इसी प्रकार, $R$ परावृत्त नहीं है, क्योंकि $(1,2) \in R$ और $(2,3) \in R$ लेकिन $(1,3) \notin R$।

उदाहरण 5 $R$ पूर्णांकों के समुच्चय $\mathbf{Z}$ में $R=\{(a, b): 2 \text { divides } a-b\}$ के द्वारा दिया गया संबंध $R$ को समतुल्य संबंध दिखाएँ।

समाधान $R$ आत्मसात्मक है, क्योंकि 2 $(a-a)$ को $a \in \mathbf{Z}$ के लिए पूर्णतः विभाजित करता है। इसके अलावा, अगर $(a, b) \in R$, तो 2 $a-b$ को पूर्णतः विभाजित करता है। इसलिए, 2 $b-a$ को पूर्णतः विभाजित करता है। इसलिए, $(b, a) \in R$, जिससे $R$ को सममित दिखाया जा सकता है। इसी प्रकार, अगर $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$, तो $a-b$ और $b-c$ 2 से विभाज्य हैं। अब, $a-c=(a-b)+(b-c)$ सम है (क्यों?)। इसलिए, $(a-c)$ 2 से विभाज्य है। इससे $R$ को परावृत्त दिखाया जा सकता है। इस प्रकार, $R$ $\mathbf{Z}$ में एक समतुल्य संबंध है।

उदाहरण 5 में ध्यान दें कि सभी सम पूर्णांक शून्य के साथ संबंधित हैं, क्योंकि $(0, \pm 2),(0, \pm 4)$ आदि, $R$ में स्थित हैं और कोई भी विषम पूर्णांक 0 के साथ संबंधित नहीं है, क्योंकि $(0, \pm 1),(0, \pm 3)$ आदि, $R$ में स्थित नहीं हैं। इसी प्रकार, सभी विषम पूर्णांक एक के साथ संबंधित हैं और कोई भी सम पूर्णांक एक के साथ संबंधित नहीं है। इस प्रकार, $E$ सभी सम पूर्णांकों का समुच्चय $O$ सभी विषम पूर्णांकों का समुच्चय $\mathbf{Z}$ के उपसमुच्चय हैं जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करते हैं:

(i) $E$ के सभी अवयव एक-दूसरे के साथ संबंधित हैं और $O$ के सभी अवयव एक-दूसरे के साथ संबंधित हैं।

(ii) $E$ का कोई भी अवयव $O$ के किसी भी अवयव $O$ के साथ संबंधित नहीं है और उल्टे तरीके से भी नहीं।

(iii) $E$ और $O$ अलग-अलग हैं और $\mathbf{Z}=E \cup O$।

$E$ को शून्य के समावेश करने वाले समतुल्य वर्ग कह