गणित की अस्तित्व में उसकी स्वतंत्रता का केंद्र है। - कैन्टर

3.1 परिचय

गणित के विभिन्न शाखाओं में मैट्रिक्स की जानकारी आवश्यक है। मैट्रिक्स गणित में सबसे शक्तिशाली उपकरणों में से एक हैं। इस गणितीय उपकरण के माध्यम से हमारा काम अन्य सीधे तरीकों की तुलना में बहुत अधिक सरल हो जाता है। मैट्रिक्स के संकेत का विकास समीकरणों की समीकरणों के समाधान के लिए संक्षिप्त और सरल तरीकों को प्राप्त करने के प्रयास का परिणाम है। मैट्रिक्स केवल समीकरणों की समीकरणों के गुणकों का प्रतिनिधित्व करने के लिए इस्तेमाल नहीं किए जाते, बल्कि उनकी उपयोगिता उनके इस उपयोग से अधिक जान जाती है। मैट्रिक्स संकेत और ऑपरेशन व्यक्तिगत कंप्यूटर के इलेक्ट्रॉनिक स्प्रेडशीट प्रोग्राम्स में इस्तेमाल किए जाते हैं, जो उसके बाद वित्तीय बजट, बिक्री प्रोजेक्शन, लागत अनुमान, एक प्रयोग के परिणामों का विश्लेषण आदि जैसे विभिन्न व्यापार और विज्ञान क्षेत्रों में इस्तेमाल किए जाते हैं। इसके अतिरिक्त, वेगदातु, घुमाव और एक स्थान पर परिवर्तन जैसे कई भौतिक ऑपरेशन मैट्रिक्स द्वारा गणितीय रूप से प्रतिनिधित्व किए जाते हैं। मैट्रिक्स गूढ़लेखन में भी इस्तेमाल किए जाते हैं। इस गणितीय उपकरण का उपयोग केवल कुछ विज्ञान के शाखाओं में नहीं होता, बल्कि आनुवंशिकी, अर्थशास्त्र, समाजशास्त्र, आधुनिक रासायनिकी और औद्योगिक प्रबंधन में भी किया जाता है।

इस अध्याय में, हम मैट्रिक्स के मौलिक बिंदुओं और मैट्रिक्स बीजगणित से परिचित होने में रुचि प्रकट करेंगे।

3.2 मैट्रिक्स

मान लीजिए कि हम जानकारी व्यक्त करना चाहते हैं कि राधा के पास 15 नोटबुक हैं। हम इसे [15] के रूप में व्यक्त कर सकते हैं, जिसमें समझ में आता है कि [ ] के अंदर की संख्या राधा के पास कितने नोटबुक हैं। अब, अगर हमें यह व्यक्त करना हो कि राधा के पास 15 नोटबुक और 6 पेन हैं। हम इसे $\begin{bmatrix}15 & 6\end{bmatrix}$ के रूप में व्यक्त कर सकते हैं, जिसमें समझ में आता है कि [ ] के अंदर की पहली संख्या नोटबुकों की संख्या है जबकि दूसरी संख्या पेनों की संख्या है जिनकी राधा प्रभुत्व में है। चलिए अब मान लें कि हमें राधा और उसके दो दोस्तों फौजिया और सिमरन द्वारा नोटबुक और पेनों की संपत्ति की जानकारी व्यक्त करनी है जो निम्नलिखित है:

$$ \begin{array}{llllll} \text { Radha } & \text { has } & 15 & \text { notebooks } & \text { and } & 6 \text { pens, } \\ \text { Fauzia } & \text { has } & 10 & \text { notebooks } & \text { and } & 2 \text { pens, } \\ \text { Simran } & \text { has } & 13 & \text { notebooks } & \text { and } & 5 \text { pens. } \end{array} $$

अब इसे निम्नलिखित तालिका के रूप में व्यवस्थित किया जा सकता है:

$$ \begin{array}{lcc} & \text { Notebooks } & \text { Pens } \\ \text { Radha } & 15 & 6 \\ \text { Fauzia } & 10 & 2 \\ \text { Simran } & 13 & 5 \end{array} $$

या

जिसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

पहले व्यवस्था में पहली कॉलम के प्रविष्टियाँ राधा, फौजिया और सिमरन द्वारा क्रमशः प्रभुत्व में नोटबुकों की संख्या प्रतिनिधित्व करती हैं और दूसरे कॉलम के प्रविष्टियाँ राधा, फौजिया और सिमरन द्वारा क्रमशः प्रभुत्व में पेनों की संख्या प्रतिनिधित्व करती हैं। इसी प्रकार, दूसरी व्यवस्था में, पहली पंक्ति के प्रविष्टियाँ राधा, फौजिया और सिमरन द्वारा क्रमशः प्रभुत्व में नोटबुकों की संख्या प्रतिनिधित्व करती हैं। दूसरी पंक्ति के प्रविष्टियाँ राधा, फौजिया और सिमरन द्वारा क्रमशः प्रभुत्व में पेनों की संख्या प्रतिनिधित्व करती हैं। इस प्रकार की व्यवस्था या प्रदर्शन को मैट्रिक्स कहते हैं। औचित्य में, हम मैट्रिक्स की अवधारणा इस प्रकार परिभाषित करते हैं:

परिभाषा 1 मैट्रिक्स एक व्युत्क्रमित आयताकार बमैट्रिक्स की एक व्युत्क्रमित आयताकार बमैट्रिक्स है जिसमें संख्याएँ या फ़ंक्शन होते हैं। संख्याएँ या फ़ंक्शन मैट्रिक्स के तत्व या प्रविष्टियों कहलाते हैं।

हम मैट्रिक्स को बड़े अक्षरों से चिह्नित करते हैं। निम्नलिखित मैट्रिक्सों के कुछ उदाहरण हैं:

$$ A=\begin{bmatrix} -2 & 5 \\ 0 & \sqrt{5} \\ 3 & 6 \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} 2+i & 3 & -\frac{1}{2} \\ 3.5 & -1 & 2 \\ \sqrt{3} & 5 & \frac{5}{7} \end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix} 1+x & x^{3} & 3 \\ \cos x & \sin x+2 & \tan x \end{bmatrix} $$

उपरोक्त उदाहरणों में, तत्वों की क्षैतिज रेखाएँ मैट्रिक्स के पंक्तियों को 构成 करती हैं और तत्वों की लंबवत रेखाएँ मैट्रिक्स के स्तंभों को 构成 करती हैं। इस प्रकार, $A$ में 3 पंक्तियाँ और 2 स्तंभ हैं, $B$ में 3 पंक्तियाँ और 3 स्तंभ हैं जबकि $C$ में 2 पंक्तियाँ और 3 स्तंभ हैं।

3.2.1 मैट्रिक्स की घात

एक मैट्रिक्स को $m$ पंक्तियों और $n$ स्तंभों के साथ $m \times n$ मैट्रिक्स कहा जाता है या सीधे $m \times n$ मैट्रिक्स ($m$ द्वारा $n$ मैट्रिक्स के रूप में पढ़ा जाता है)। इस प्रकार उपरोक्त मैट्रिक्सों के लिए, हम $A$ को $3 \times 2$ मैट्रिक्स, $B$ को $3 \times 3$ मैट्रिक्स और $C$ को $2 \times 3$ मैट्रिक्स मानते हैं। हम देखते हैं कि $A$ में $3 \times 2=6$ तत्व हैं, $B$ और $C$ क्रमशः 9 और 6 तत्वों के हैं।

आम तौर पर, $m \times n$ मैट्रिक्स निम्नलिखित व्युत्क्रमित आयताकार बमैट्रिक्स के रूप में दिया जाता है:

$ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & a_{i3} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} _{m \times n} $

या $ A=[a_{i j}]_{m \times n}, 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n \quad i, j \in N $

इस प्रकार, $i^{\text {th }}$ पंक्ति के तत्वों को $a_{i 1}, a_{i 2}, a_{i 3}, \ldots, a_{i n}$ कहा जाता है, जबकि $j^{\text {th }}$ स्तंभ के तत्वों को $a_{1 j}, a_{2 j}, a_{3 j}, \ldots, a_{m j}$ कहा जाता है।

आम तौर पर, $a_{i j}$, $i^{\text {th }}$ पंक्ति और $j^{\text {th }}$ स्तंभ में स्थित एक तत्व है। हम इसे $(i, j)^{\text {th }}$ तत्व के रूप में भी कह सकते हैं जो $A$ में है। $m \times n$ मैट्रिक्स में तत्वों की संख्या $m n$ के बराबर होगी।

नोट इस अध्याय में

1. हम नोटेशन का पालन करेंगे, अर्थात् $A=[a_{i j}]_{m \times n}$ का उपयोग करके दर्शायेंगे कि $A$ $m \times n$ की एक मैट्रिक्स है।

2. हम केवल उन मैट्रिक्सों पर विचार करेंगे जिनके तत्व वास्तविक संख्याएँ हों या वास्तविक मानों को लेने वाले फ़ंक्शन हों।

हम किसी भी बिंदु $(x, y)$ को एक समतल में एक मैट्रिक्स (कॉलम या पंक्ति) के रूप में $\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}$ (या $.[x, y]$) के रूप में भी प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, बिंदु $P(0,1)$ के मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व के रूप में इस प्रकार दिया जा सकता है

$$ \mathbf{P}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \text { or }\begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} $$

ध्यान दें कि इस प्रकार हम एक बंद रेखांकित आकृति के शीर्षकों को भी एक मैट्रिक्स के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक चतुर्भुज $A B C D$ मानते हैं जिसके शीर्षक A $(1,0), B(3,2), C(1,3), D(-1,2)$ हैं।

अब, चतुर्भुज $ABCD$ को मैट्रिक्स के रूप में इस प्रकार प्रतिनिधित्व किया जा सकता है

इस प्रकार, मैट्रिक्स का उपयोग समतल में ज्यामितिय आकृतियों के शीर्षकों के प्रतिनिधित्व के लिए किया जा सकता है।

अब, कुछ उदाहरणों पर विचार करते हैं।

उदाहरण 1 तीन फैक्ट्री I, II और III में पुरुष और महिला श्रमिकों की संख्या के बारे में निम्नलिखित जानकारी मानते हैं

इस जानकारी को $3 \times 2$ मैट्रिक्स के रूप में प्रतिनिधित्व करें। तीसरी पंक्ति और दूसरे स्तंभ में प्रविष्टि का क्या अर्थ है?

समाधान जानकारी निम्नलिखित $3 \times 2$ मैट्रिक्स के रूप में प्रतिनिधित्व की गई है:

$$ A=\begin{bmatrix} 30 & 25 \\ 25 & 31 \\ 27 & 26 \end{bmatrix} $$

तीसरी पंक्ति और दूसरे स्तंभ में प्रविष्टि फैक्ट्री III में महिला श्रमिकों की संख्या का प्रतिनिधित्व करती है।

उदाहरण 2 अगर एक मैट्रिक्स में 8 तत्व हैं, तो यह कौन-से संभावित आदेशों का हो सकता है?

समाधान हम जानते हैं कि अगर एक मैट्रिक्स $m \times n$ की है, तो यह $m n$ तत्वों के होता है। इस प्रकार, 8 तत्वों वाली एक मैट्रिक्स के सभी संभावित आदेशों को खोजने के लिए, हम 8 के गुणनफल के सभी व्युत्क्रमित आयताकार युग्मों को खोजेंगे।

इस प्रकार, सभी संभावित व्युत्क्रमित आयताकार युग्म $(1,8),(8,1),(4,2),(2,4)$ हैं इस प्रकार, संभावित आदेश $1 \times 8,8 \times 1,4 \times 2,2 \times 4$ हैं

उदाहरण 3 $3 \times 2$ मैट्रिक्स का निर्माण करें जिसके तत्व $a_{i j}=\frac{1}{2}|i-3 j|$ द्वारा दिए गए हैं।

समाधान आम तौर पर $3 \times 2$ मैट्रिक्स $A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\end{bmatrix}$ द्वारा दिया जाता है।

अब $\quad$ $a_{i j}=\frac{1}{2}|i-3 j|, i=1,2,3 \text { and } j=1,2$

इस प्रकार $\quad a_{11}=\frac{1}{2}|1-3 \times 1|=1 \quad a_{12}=\frac{1}{2}|1-3 \times 2|=\frac{5}{2}$

$$ \begin{matrix} a_{21}= \frac{1}{2}|2-3 \times 1|=\frac{1}{2} & a_{22}=\frac{1}{2}|2-3 \times 2|=2 \\ \\ a_{31} =\frac{1}{2}|3-3 \times 1|=0 & a_{32} =\frac{1}{2}|3-3 \times 2|=\frac{3}{2} \end{matrix} $$

इस प्रकार, अपेक्षित मैट्रिक्स $A=\begin{bmatrix}1 & \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & \frac{3}{2}\end{bmatrix}$ द्वारा दिया जाता है।

3.3 मैट्रिक्स के प्रकार

इस खंड में, हम विभिन्न प्रकार के मैट्रिक्स पर चर्चा करेंगे।

(i) कॉलम मैट्रिक्स

एक मैट्रिक्स को कॉलम मैट्रिक्स कहा जाता है अगर इसमें केवल एक स्तंभ हो।

उदाहरण के लिए, $A=\begin{bmatrix}{c}0 \\ \sqrt{3} \\ -1 \\ 1 / 2\end{bmatrix}$ $4 \times 1$ की एक कॉलम मैट्रिक्स है।

आम तौर पर, $A=[a_{i j}]_{m \times 1}$ $m \times 1$ की एक कॉलम मैट्रिक्स है।

(ii) पंक्ति मैट्रिक्स

एक मैट्रिक्स को पंक्ति मैट्रिक्स कहा जाता है अगर इसमें केवल एक पंक्ति हो।

उदाहरण के लिए, $B=[\begin{bmatrix}-\frac{1}{2} & \sqrt{5} & 2 & 3\end{bmatrix}]_{1 \times 4}$ एक पंक्ति मैट्रिक्स है।

आम तौर पर, $B=[b_{i j}]_{1 \times n}$ $1 \times n$ की एक पंक्ति मैट्रिक्स है।

(iii) वर्ग मैट्रिक्स

एक मैट्रिक्स में जहाँ पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के बराबर हो, उसे वर्ग मैट्रिक्स कहा जाता है। इस प्रकार एक $m \times n$ मैट्रिक्स को $m=n$ के बराबर होने पर वर्ग मैट्रिक्स कहा जाता है और ⟦1