सभी गणितीय सत्य निरपेक्ष और स्थितिअनुकूल हैं - सी.पी. स्टीनमेट्ज

4.1 परिचय

पिछले अध्याय में, हमने मैट्रिक्स और मैट्रिक्स के बीच बैलेंस की अध्ययन की थी। हमने भी सीखा था कि बहुपदीय समीकरणों की एक प्रणाली को मैट्रिक्स के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इसका मतलब है, एक लाइनर समीकरण की प्रणाली जैसे

$$ \begin{aligned} & a _{1} x+b _{1} y=c _{1} \\ & a _{2} x+b _{2} y=c _{2} \end{aligned} $$

को $\begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{vmatrix}\begin{vmatrix}x \\ y\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}c_1 \\ c_2\end{vmatrix}$ के रूप में दर्शाया जा सकता है। अब, इस समीकरणों की प्रणाली के पास एक अद्वितीय समाधान है या नहीं, $a_1 b_2-a_2 b_1$ नंबर द्वारा निर्धारित है। (याद रखें कि अगर $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ या, $a_1 b_2-a_2 b_1 \neq 0$, तो लाइनर समीकरण

पी.एस. लैपलास $(1749-1827)$ समीकरणों के पास एक अद्वितीय समाधान है)। $a_1 b_2-a_2 b_1$ नंबर जो समाधान की अद्वितीयता को निर्धारित करता है, मैट्रिक्स $A=\begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{vmatrix}$ से जुड़ा है और इसे मैट्रिक्स A का घातांक या det A कहा जाता है। घातांकों के इंजीनियरिंग, विज्ञान, अर्थशास्त्र, सामाजिक विज्ञान आदि में व्यापक अनुप्रयोग हैं।

इस अध्याय में, हम केवल वास्तविक प्रविष्टियों के साथ आदर्श तीन तक के घातांकों का अध्ययन करेंगे। इसके अतिरिक्त, हम घातांकों, छोटे घातांकों, सहघातांकों के विभिन्न गुणों और घातांकों के अनुप्रयोगों का अध्ययन करेंगे ताकि त्रिभुज के क्षेत्रफल की जांच की जा सके, वर्ग मैट्रिक्स का अड्जाइन्ट और पलटा जा सके, लाइनर समीकरणों की प्रणाली की संतुलनता और असंतुलनता की जांच की जा सके और दो या तीन चरों में लाइनर समीकरणों के समाधान को मैट्रिक्स के पलटे गए रूप का उपयोग करके जांचा जा सके।

4.2 घातांक

हर वर्ग मैट्रिक्स $A=[a _{i j}]$ के लिए आर्डर $n$, हम एक संख्या (वास्तविक या जटिल) जो वर्ग मैट्रिक्स A का घातांक कहलाता है, जहां $a _{i j}=(i, j)^{\text{th }}$ मैट्रिक्स A का तत्व है, एक संख्या जो जुड़ा होता है।

इसे एक फ़ंक्शन के रूप में सोचा जा सकता है जो हर वर्ग मैट्रिक्स को एक अद्वितीय संख्या (वास्तविक या जटिल) जुड़ा देता है। अगर $M$ वर्ग मैट्रिक्सों का सेट है, $K$ संख्याओं (वास्तविक या जटिल) का सेट है और $f: M \to K$ द्वारा परिभाषित किया जाता है $f(A)=k$, जहां $A \in M$ और $k \in K$, तो $f(A)$ $A$ का घातांक कहलाता है। यह $|A|$ या $det A$ या $\Delta$ द्वारा भी दर्शाया जाता है।

अगर $A=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$ , तो मैट्रिक्स A का घातांक $|A|=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=det(A) $ के रूप में लिखा जाता है

टिप्पणियाँ

(एक) मैट्रिक्स A के लिए, $|A|$ को $A$ का घातांक के रूप में पढ़ा जाता है और $A$ के अर्ध मान के रूप में नहीं।

(दो) केवल वर्ग मैट्रिक्स ही घातांक रखते हैं।

4.2.1 एक क्रम के मैट्रिक्स का घातांक

अगर $A=[a]$ एक क्रम की मैट्रिक्स है, तो $A$ का घातांक को $a$ के बराबर परिभाषित किया जाता है

4.2.2 दो क्रम के मैट्रिक्स का घातांक

$\text{चूंकि}\qquad A=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} \\ a _{21} & a _{22} \end{vmatrix} \text{ एक } 2 \times 2 \text{ क्रम की मैट्रिक्स है, $

इसलिए $A$ का घातांक इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

$ det(A)=|A|=\Delta=\begin{vmatrix} a _{11} & & a _{12} \\ a _{21} & & a _{22} \end{vmatrix}=a _{11} a _{22}-a _{21} a _{12} $

उदाहरण 1 $\begin{vmatrix}2 & 4 \\ -1 & 2\end{vmatrix}$ का मूल्यांकन करें।

समाधान हमारे पास $\begin{vmatrix}2 & 4 \\ -1 & 2\end{vmatrix}=2(2)-4(-1)=4+4=8$ है।

उदाहरण 2 $\begin{vmatrix}x & x+1 \\ x-1 & x\end{vmatrix}$ का मूल्यांकन करें

समाधान हमारे पास

$ \begin{vmatrix} x & x+1 \\ x-1 & x \end{vmatrix}=x(x)-(x+1)(x-1)=x^{2}-(x^{2}-1)=x^{2}-x^{2}+1=1 $

4.2.3 $3 \times 3$ क्रम के मैट्रिक्स का घातांक

तीन क्रम के मैट्रिक्स का घातांक दूसरे क्रम के घातांकों के रूप में व्यक्त करके निर्धारित किया जा सकता है। इसे घातांक का एक विस्तार के रूप में जाना जाता है रो (या कॉलम) के साथ। 3 क्रम के घातांक का विस्तार करने के लिए 3 रोज़ $(R_1, R_2.$ और $.R_3)$ और 3 कॉलम $(C_1, C_2.$ और $C_3)$ के प्रत्येक के लिए छह तरीके हैं जो नीचे दिखाए गए वैसे ही मान देते हैं।

वर्ग मैट्रिक्स $A=[a _{i j}] _{3 \times 3}$ के घातांक पर विचार करें

$\text{अर्थात्}\qquad |A|=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} $

पहले रो $(\mathbf{R} _1)$ के साथ विस्तार

चरण 1 पहले तत्व $ a _ {11}$ को $\mathbf{R} _ {1}$ और पहले रो $(R_1)$ और पहले कॉलम $(C _ {1})$ के तत्वों को घातांक $|A|$ से हटाकर प्राप्त दूसरे क्रम के घातांक $(-1)^{(1+1)}[(-1)^{.\text{sum of suffixes in } a _ {11}}.$ के साथ गुणा करें क्योंकि $a _ {11}$ $ R _ {1} $ और $ C _ {1} $ में है,

$\text{अर्थात्,}\qquad (-1)^{1+1} a _{11}\left|\begin{array}{ll} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{array}\right| $

चरण 2 $R_1$ के दूसरे तत्व $a _{12}$ को $(-1)^{1+2}[(-1)^{\text{sum of suffixes in } a _{12}}]$ और पहले रो $(R_1)$ और दूसरे कॉलम $(C_2)$ के तत्वों को घातांक $|A|$ से हटाकर प्राप्त दूसरे क्रम के घातांक के साथ गुणा करें क्योंकि $a _{12}$ $R_1$ और $C_2$ में है,

अर्थात् $\quad(-1)^{1+2} a _{12}\begin{vmatrix}a _{21} & a _{23} \\ a _{31} & a _{33}\end{vmatrix}$

चरण 3 $R_1$ के तीसरे तत्व $a _{13}$ को $(-1)^{1+3}[(-1)^{\text{sum of suffixes in } a _{13}}]$ और पहले रो $(R_1)$ और तीसरे कॉलम $(C_3)$ के तत्वों को घातांक $|A|$ से हटाकर प्राप्त दूसरे क्रम के घातांक के साथ गुणा करें क्योंकि $a _{13}$ $R_1$ और $C_3$ में है,

अर्थात् $\quad(-1)^{1+3} a _{13}\begin{vmatrix}a _{21} & a _{22} \\ a _{31} & a _{32}\end{vmatrix}$

चरण 4 अब मैट्रिक्स A के घातांक का विस्तार, अर्थात् $|A|$ उपरोक्त चरण 1, 2 और 3 में प्राप्त सभी तीन भागों के योग के रूप में दिया गया है

$$ \begin{aligned} & \operatorname{det} \mathrm{A}=|\mathrm{A}|=(-1)^{1+1} a _{11}\left|\begin{array}{ll} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{array}\right|+(-1)^{1+2} \quad a _{12}\left|\begin{array}{ll} a _{21} & a _{23} \\ a _{31} & a _{33} \end{array}\right| \\ & +(-1)^{1+3} a _{13}\left|\begin{array}{ll} a _{21} & a _{22} \\ a _{31} & a _{32} \end{array}\right| \end{aligned} $$

$ \begin{align*} \text{या}\qquad |\mathrm{A}|= & a _{11}\left(a _{22} a _{33}-a _{32} a _{23}\right)-a _{12}\left(a _{21} a _{33}-a _{31} a _{23}\right) \\ & +a _{13}\left(a _{21} a _{32}-a _{31} a _{22}\right) \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{32} a _{23}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{31} a _{23}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \tag{1} \end{align*} $

नोट हम सभी चार चरणों को एक साथ लागू करेंगे।

दूसरे रो $(\mathbf{R} _2)$ के साथ विस्तार

$$ |A|=\begin{vmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} \\ a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} \end{vmatrix} $$

$R_2$ के साथ विस्तार करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} |A|= & (-1)^{2+1} a _{21}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+(-1)^{2+2} a _{22}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{13} \\ a _{31} & a _{33} \end{vmatrix} \\ & +(-1)^{2+3} a _{23}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} \\ a _{31} & a _{32} \end{vmatrix} \\ = & -a _{21}(a _{12} a _{33}-a _{32} a _{13})+a _{22}(a _{11} a _{33}-a _{31} a _{13}) \\ & -a _{23}(a _{11} a _{32}-a _{31} a _{12}) \\ |A|= & -a _{21} a _{12} a _{33}+a _{21} a _{32} a _{13}+a _{22} a _{11} a _{33}-a _{22} a _{31} a _{13}-a _{23} a _{11} a _{32} \\ & +a _{23} a _{31} a _{12} \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{23} a _{31}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \end{aligned} $

पहले कॉलम $(C_1)$ के साथ विस्तार

$$ |A|=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} $$

$C_1$ के साथ विस्तार करके, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} |A|= & a _{11}(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+a _{21}(-1)^{2+1}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} \\ & +a _{31}(-1)^{3+1}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{22} & a _{23} \end{vmatrix} \\ = & a _{11}(a _{22} a _{33}-a _{23} a _{32})-a _{21}(a _{12} a _{33}-a _{13} a _{32})+a _{31}(a _{12} a _{23}-a _{13} a _{22}) \end{aligned} $ $ \begin{aligned} |A|= & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{21} a _{12} a _{33}+a _{21} a _{13} a _{32}+a _{31} a _{12} a _{23} \\ & -a _{31} a _{13} a _{22} \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{23} a _{31}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \end{aligned} $

स्पष्ट रूप से, (1), (2) और (3) में $|A|$ के मान बराबर हैं। $|A|$ के मान $R_3, C_2$ और $C_3$ के साथ विस्तार करके $|A|$ के (1), (2) या (3) में प्राप्त मान के बराबर हैं के लिए पाठक को यह सत्यापन करना छोड़ दिया जाता है।

इसलिए, किसी भी रो या कॉलम के साथ घातांक का विस्तार समान मान देता है।

टिप्पणियाँ

(एक) सरल गणना के लिए, हम उस रो या कॉलम के साथ घातांक का विस्तार करेंगे जिसमें शून्यों की अधिकतम संख्या होती है।

(दो) विस्तार करते समय, $(-1)^{i+j}$ के साथ गुणा करने के बजाय, हम +1 या -1 के साथ गुणा कर सकते हैं अगर $(i+j)$ सम है या विषम है।

(तीन) चूंकि $A=\begin{vmatrix}2 & 2 \\ 4 & 0\end{vmatrix}$ और $B=\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 2 & 0\end{vmatrix}$। तो, $A=2 B$ को सत्यापित करना आसान है। इसके अतिरिक्त $|A|=0-8=-8$ और $|B|=0-2=-2$।

ध्यान दें कि, $|A|=4(-2)=2^{2}|B|$ या $|A|=2^{n}|B|$, जहां $n=2$ वर्ग मैट्रिक्स $A$ और $B$ का आदर्श है।

आम तौर पर, $A=k B$ अगर $A$ और $B$ $n$ क्रम के वर्ग मैट्रिक्स हैं, तो $|A|=k^{n}$ $|B|$, जहां $n=1,2,3$

उदाहरण 3 $\Delta=\begin{vmatrix}1 & 2 & 4 \\ -1 & 3 & 0 \\ 4 & 1 & 0\end{vmatrix}$ का घातांक मूल्यांकन करें।

समाधान ध्यान दें कि तीसरे कॉलम में, दो प्रविष्टियाँ शून्य हैं। इसलिए तीसरे कॉलम $(C_3)$ के साथ विस्तार करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{aligned} \Delta & =4\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}-0\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}+0\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} \\ & =4(-1-12)-0+0=-52 \end{aligned} $$

उदाहरण 4 $\Delta=\begin{vmatrix}0 & \sin \alpha & -\cos \alpha \\ -\sin \alpha & 0 & \sin \beta \\ \cos \alpha & -\sin \beta & 0\end{vmatrix}$ का मूल्यांकन करें

समाधान $R_1$ के साथ विस्तार करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} \Delta & =0\begin{vmatrix} 0 & \sin \beta \\ -\sin \beta & 0 \end{vmatrix}-\sin \alpha\begin{vmatrix} -\sin \alpha & \sin \beta \\ \cos \alpha & 0 \end{vmatrix}-\cos \alpha\begin{vmatrix} -\sin \alpha & 0 \\ \cos \alpha & -\sin \beta \end{vmatrix} \\ & =0-\sin \alpha(0-\sin \beta \cos \alpha)-\cos \alpha(\sin \alpha \sin \beta-0) \\ & =\sin \alpha \sin \beta \cos \alpha-\cos \alpha \sin \alpha \sin \beta=0 \end{aligned} $

उदाहरण 5 $x$ के लिए मान $\begin{vmatrix}3 & x \\ x & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3 & 2 \\ 4 & 1\end{vmatrix}$ के लिए $\begin{vmatrix}3 & x \\ x & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3 & 2 \\ 4 & 1\end{vmatrix}$ के लिए $\qquad 3-x^{2}=3-8$ के लिए $\qquad\ x= \pm 2 \sqrt{2}$ के लिए के लिए $(x_1, y_1),(x_2, y_2)$ के लिए $(x_3, y_3)$ के लिए $\frac{1}{2}[x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+.$ $.x_3(y_1-y_2)]$ के लिए $(3,8),(-4,2)$ के लिए $(5,1)$ के लिए $A(1,3)$ के लिए $B(0,0)$ के लिए $k$ के लिए $D(k, 0)$ के लिए $P(x, y)$ के लिए $AB$ के लिए $AB$ के लिए $\frac{-3 k}{2}= \pm 3$, अर्थात् $k=\mp 2$ के लिए $a _{i j}$ के लिए $i$ के लिए $j$ के लिए $a _{i j}$ के लिए $a _{i j}$ के लिए $M _{i j}$ के लिए $n(n \geq 2)$ के लिए $n-1$ के लिए $\Delta=\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{vmatrix}$ के लिए $M _{23}$ के लिए $a _{i j}$ के लिए $A _{i j}$ के लिए $\begin{vmatrix}1 & -2 \\ 4 & 3\end{vmatrix}$ के लिए $a _{i j}$ के लिए $M _{i j}$ के लिए $a _{11}=1$ के लिए $M _{11}=$ के लिए $a _{11}=3$ के लिए $a _{i j}$ के लिए $A _{i j}$ के लिए $a _{11}, a _{21}$ के लिए $a _{11}=M _{11}=\begin{vmatrix}a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33}\end{vmatrix}=a _{22} a _{33}-a _{23} a _{32}$ के लिए $a _{11}=A _{11}=(-1)^{1+1} \quad M _{11}=a _{22} a _{33}-a _{23} a _{32}$ के लिए $a _{21}=M _{21}=\begin{vmatrix}a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33}\end{vmatrix}=a _{12} a _{33}-a _{13} a _{32}$ के लिए $a _{21}=A _{21}=(-1)^{2+1} \quad M _{21}=(-1)(a _{12} a _{33}-a _{13} a _{32})=-a _{12} a _{33}+a _{13} a _{32}$ के लिए $\Delta$ के लिए $R_1$