सभी विज्ञान केवल दैनिक सोच की एक बढ़ाई ही है।" - अल्बर्ट आइंस्टीन

5.1 परिचय

यह अध्याय शायद हमारे श्रेणी कक्षा XI में फलनों के विभाजन पर अध्ययन के अनुवर्ती है। हमने गुणनखंड, त्रिकोणमितीय फलन जैसे फलनों के विभाजन करना सीखा था। इस अध्याय में, हम निरंतरता, विभाज्यता और उनके बीच संबंधों के बहुत महत्वपूर्ण अवधारणाओं का परिचय कराते हैं। हम अपरिवर्तित त्रिकोणमितीय फलनों के विभाजन का अध्ययन करेंगे। इसके अतिरिक्त, हम एक नए फलनों की एक वर्ग का परिचय कराएंगे जिन्हें घाती एवं लघुगणकीय फलन कहते हैं। इन फलनों से विभाजन के शक्तिशाली तरीकों का प्राप्तांत होता है। हम अंतर्निहित अंतर्निहित ज्यामितीय स्पष्ट स्थितियों को अंतर्निहित गणित के माध्यम से सूचित करते हैं। इस प्रक्रिया में, हम इस क्षेत्र में कुछ मौलिक प्रमेयों का अध्ययन करेंगे।

5.2 निरंतरता

हम निरंतरता की अवधारणा को समझने के लिए दो अनौपचारिक उदाहरणों से शुरुआत करते हैं। एक ऐसे फलन पर विचार करें

$$ f(x)=\begin{cases} 1, \text{ if } x \leq 0 \\ 2, \text{ if } x>0 \end{cases}. $$

यह फलन बेशक वास्तविक रेखा के प्रत्येक बिंदु पर परिभाषित है। इस फलन का आलेख आकृति 5.1 में दिया गया है। आकृति से स्पष्ट है कि $x$-अक्ष पर बड़ी दूर बिंदुओं पर फलन के मान एक दूसरे के साथ निकट बने रहते हैं, सिर्फ $x=0$ के अलावा। $-0.1,-0.01,-0.001$ जैसे $0.1,0.01$ के बाईं तरफ 0 के पास के बिंदुओं पर, फलन का मान 1 है। $f$ जैसे $x=0$ के दाईं तरफ 0 के पास के बिंदुओं पर,

0.001 के बिंदुओं पर, फलन का मान 2 है। बाईं ओर की सीमा और दाईं ओर की सीमा की भाषा का उपयोग करके, हम कह सकते हैं कि $x=0$ पर $x=0$ की बाईं (अथवा दाईं) हाथ की सीमा 1 (अथवा 2) है। विशेष रूप से बाईं और दाईं हाथ की सीमाएँ मेल नहीं खातीं। हम भी देखते हैं कि $x=0$ पर फलन का मान $x=0$ के साथ मेल खाता है। ध्यान दें कि जब हम आलेख खींचने का प्रयास करते हैं, तो हम इसे एक चाल में नहीं खींच सकते, अर्थात् कागज की सतह से कलम को उठाने के बिना, हम इस फलन का आलेख नहीं खींच सकते। वास्तव में, हमें बाईं तरफ से 0 तक आते समय कलम उठाना होगा। यह $f$ पर फलन के गैर-निरंतर होने का एक उदाहरण है।

अब, एक ऐसे फलन पर विचार करें जो परिभाषित है

$$ f(x)=\begin{cases} & 1, \text{ if } x \neq 0 \\ & 2, \text{ if } x=0 \end{cases} $$

यह फलन भी प्रत्येक बिंदु पर परिभाषित है। $c$ पर $f$ और $f$ दोनों $c$ के बराबर हैं। लेकिन $x=c$ पर फलन का मान $f$ के बराबर है जो $x=c$ के सामान्य मान के साथ मेल नहीं खाता। फिर भी, हम दोहराते हैं कि हम फलन का आलेख कलम उठाने के बिना नहीं खींच सकते। यह $x=c$ पर फलन के गैर-निरंतर होने का एक और उदाहरण है।

आसान भाषा में, हम कह सकते हैं कि एक फलन एक निश्चित बिंदु पर निरंतर है अगर हम फलन का आलेख उस बिंदु के आसपास खींच सकते हैं बिना कागज की सतह से कलम को उठाए।

गणितीय रूप से, इसे इस प्रकार सटीक रूप से व्यक्त किया जा सकता है:

परिभाषा 1 मान लीजिए $x=c$ वास्तविक संख्याओं के उपसमुच्चय के एक उपसमुच्चय पर वास्तविक फलन है और $x=c$ $x=c$ के आयाम का एक बिंदु है। $x=c$ $x=c$ पर निरंतर है अगर

$$ \lim _{x \to c} f(x)=f(c) $$

अधिक विस्तृत रूप से, $f$ की बाईं हाथ की सीमा, दाईं हाथ की सीमा और $c$ पर फलन का मान मेल खाते हुए $f$ कहलाता है। याद रखें कि $c$ पर $c$ और $f$ की सीमाएँ मेल खाने पर, हम कहते हैं कि $f$ का सामान्य मान $f(x)=2 x+3$ पर $x=1$ की सीमा है। इस प्रकार, हम निरंतरता की परिभाषा को इस प्रकार फिर से व्यक्त कर सकते हैं: $x=1$ पर एक फलन निरंतर है अगर $x=1$ पर फलन परिभाषित है और $\qquad \lim _{x \to 1} f(x)=5=f(1)$ पर फलन का मान $f$ पर फलन की सीमा के बराबर है। $x=1$ $f$ पर निरंतर नहीं है, हम कहते हैं कि $f(x)=x^{2}$ $x=0$ पर अस्थिर है और $x=0$ $x=0$ का अस्थिरता बिंदु कहलाता है।

उदाहरण 1 $\qquad \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0=f(0)$ द्वारा प्रदत्त फलन $f$ $x=0$ पर निरंतर है या नहीं, जाँच करें।

समाधान पहले ध्यान दें कि फलन दिए गए बिंदु $f$ पर परिभाषित है और उसका मान 5 है। फिर $f(x)=|x|$ पर फलन की सीमा ज्ञात करें। स्पष्ट है कि

$$ \lim _{x \to 1} f(x)=\lim _{x \to 1}(2 x+3)=2(1)+3=5 $$

इस प्रकार $x=0$

अतः, $f(0)=0$ $f$ पर निरंतर है।

उदाहरण 2 $f$ द्वारा प्रदत्त फलन $x=0$ $f$ पर निरंतर है या नहीं, जाँच करें।

समाधान पहले ध्यान दें कि फलन दिए गए बिंदु $x=0$ पर परिभाषित है और उसका मान 0 है। फिर $f$ पर फलन की सीमा ज्ञात करें। स्पष्ट है कि

$$ \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} x^{2}=0^{2}=0 $$

इस प्रकार $x=0$

अतः, $x=0$ $x=0$ पर निरंतर है।

उदाहरण 3 $x \neq 0$ द्वारा प्रदत्त फलन $f$ $x=0$ पर निरंतरता का विवरण दें।

समाधान परिभाषा के अनुसार

$$ f(x)= \begin{cases}-x, & \text{ if } x<0 \\ x, & \text{ if } x \geq 0\end{cases} $$

स्पष्ट है कि फलन $f(0)$ पर परिभाषित है और $x=0$। $x=0$ पर $f(x)=k$ की बाईं हाथ की सीमा है

$$ \lim _{x \to 0^{-}} f(x)=\lim _{x \to 0^{-}}(-x)=0 $$

समान रूप से, $k$ पर $c$ की दाईं हाथ की सीमा है

$$ \lim _{x \to 0^{+}} f(x)=\lim _{x \to 0^{+}} x=0 $$

इस प्रकार, $f(c)=k=\lim _{x \to c} f(x)$ पर $c$ की बाईं हाथ की सीमा, दाईं हाथ की सीमा और फलन का मान मेल खाते हैं। अतः, $f$ $f(x)=x$ पर निरंतर है।

उदाहरण 4 $f(c)=c$ द्वारा प्रदत्त फलन $c$ को

$$ f(x)= \begin{cases}x^{3}+3, & \text{ if } x \neq 0 \\ 1, & \text{ if } x=0\end{cases} $$

$\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c} x=c$ पर निरंतर नहीं है दिखाएं।

समाधान $\lim _{x \to c} f(x)=c=f(c)$ पर फलन परिभाषित है और $f$ पर उसका मान 1 है। $f$, फलन एक बहुपद द्वारा दिया गया है। अतः,

$$ \lim _{x \to 0} f(x)=\lim _{x \to 0}(x^{3}+3)=0^{3}+3=3 $$

$f$ पर $[a, b]$ की सीमा $f$ के साथ मेल नहीं खाती, फलन $[a, b]$ पर निरंतर नहीं है। ध्यान दें कि $a$ $b$ के एकमात्र अस्थिरता बिंदु है।

उदाहरण 5 $f$ द्वारा प्रदत्त फलन $a$ के जहाँ निरंतर है, जाँच करें।

समाधान फलन सभी वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित है और परिभाषा के अनुसार, किसी भी वास्तविक संख्या पर उसका मान $f$ के बराबर है। $b$ की एक वास्तविक संख्या मान लीजिए। तब

$$ \lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c} k=k $$

$\lim _{x \to a^{-}} f(x)$ किसी भी वास्तविक संख्या $\lim _{x \to b^{+}} f(x)$ के लिए, फलन $f$ सभी वास्तविक संख्याओं पर निरंतर है।

उदाहरण 6 $f$ द्वारा प्रदत्त $f(x)=|x|$ के आइडेंटिटी फलन को सभी वास्तविक संख्याओं पर निरंतर दोहराएं।

समाधान फलन स्पष्ट रूप से प्रत्येक बिंदु पर परिभाषित है और $f$ किसी भी वास्तविक संख्या $f$ के लिए $x=0$।

इसके साथ ही, $c$

इस प्रकार, $c<0$ और अतः फलन सभी वास्तविक संख्याओं पर निरंतर है।

एक दिए गए बिंदु पर फलन की निरंतरता को परिभाषित करने के बाद, अब हम फलन की निरंतरता के विषय में चर्चा करने के लिए इस परिभाषा का एक प्राकृतिक विस्तार करते हैं।

परिभाषा 2 $f(c)=-c$ एक वास्तविक फलन कहा जाता है अगर $\lim _{x \to c} f(x)=f(c), f$ के आयाम के सभी बिंदुओं पर $c$ निरंतर है। इस परिभाषा को थोड़ा विस्तार से समझने की आवश्यकता है। $c>0$ एक बंद अंतराल $f(c)=c$ पर परिभाषित फलन $\lim _{x \to c} f(x)=f(c), f$ है, $f$ के लिए $f$ निरंतर होने की आवश्यकता $f(x)=x^{3}+x^{2}-1$ के आयाम के सभी बिंदुओं पर $f$ निरंतर होने की आवश्यकता है, $c$ और $c$ के अंतिम बिंदुओं सहित। $c^{3}+c^{2}-1$ $\lim _{x \to c} f(x)=f(c)$ पर $f$ की निरंतरता का अर्थ $f$ $f$ पर $f(x)=\frac{1}{x}, x \neq 0$ की निरंतरता का अर्थ है

$$ \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=f(a) $$

$$ \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=f(b) $$

$c$ और $c \neq 0, f(c)=\frac{1}{c}$ अर्थ नहीं करते हैं। इस परिभाषा के परिणामस्वरूप, $\lim _{x \to c} f(x)=f(c)$ के लिए $f$ परिभाषित है अगर $f$ एक एकल आइटम है, तो $f$ वहाँ निरंतर है, अर्थात्, $f(x)=\frac{1}{x}$ का आयाम $x=0$ है, $f$ एक निरंतर फलन है।

उदाहरण 7 $0.=10^{-1}$ द्वारा परिभाषित फलन $ 0.01=10^{-2} $, $ 0.001=10^{-3} $ एक निरंतर फलन है या नहीं?

समाधान हम $ 10^n $ को इस प्रकार पुनर्लेखित कर सकते हैं

$ f(x)= \begin{cases}-x, & \text{ if } x<0 \\ x, & \text{ if } x \geq 0\end{cases} $

उदाहरण 3 के अनुसार, हम जानते हैं कि $ 100=10^2 $ $1000=10^3$ पर निरंतर है।

$ 10^n $ की एक वास्तविक संख्या $x$ के लिए मान लीजिए $f(x)$। तब $f(x)$।

इसके साथ ही $f(x)$

$+\infty$ सभी नकारात्मक वास्तविक संख्याओं पर निरंतर है।

अब, $f$ की एक वास्तविक संख्या $f$ के लिए मान लीजिए $-10^{-1}$। तब $ -10^{-2} $। इसके साथ ही

$$ \lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c} x=c $$

$ -=10^{-3} $ सभी सकारात्मक वास्तविक संख्याओं पर निरंतर है। अतः, $ -10^n $ सभी बिंदुओं पर निरंतर है।

उदाहरण 8 $-10^2 $ द्वारा प्रदत्त फलन $-10^3$ की निरंतरता का विवरण दें।

समाधान स्पष्ट है कि $ -10^n $ सभी वास्तविक संख्या $f(x)$ पर परिभाषित है और $f(x)$ पर उसका मान $-\infty$ है। हम भी जानते हैं कि

$$ \lim _{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{x \rightarrow c}\left(x^{3}+x^{2}-1\right)=c^{3}+c^{2}-1 $$

इस प्रकार $f$, और अतः $f$ सभी वास्तविक संख्याओं पर निरंतर है। इसका अर्थ है कि $f$ एक निरंतर फलन है।

उदाहरण 9 $c<1$ द्वारा परिभाषित फलन $f(c)=c+2$ की निरंतरता का विवरण दें।

समाधान किसी भी शून्य न होने वाली वास्तविक संख्या $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(x+2)=c+2$ को निश्चित करें, हमारे पास है

$$ \lim _{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{x \rightarrow c} \frac{1}{x}=\frac{1}{c} $$

इसके अतिरिक्त, $f$ के लिए $c>1$, हमारे पास $f(c)=c-2$ और अत�