किसी भी व्यक्ति को गणित का अध्ययन करना चाहिए क्योंकि गणित के ज़रिए ही प्रकृति को सुसंगत रूप में समझा जा सकता है। - बीर्कोफ़्फ़

8.1 परिचय

ज्यामिति में, हमने त्रिभुज, आयत, ट्रैपिज़ियास और वृत्त सहित विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए सूत्रों का अध्ययन किया है। ऐसे सूत्र गणित के कई वास्तविक जीवन समस्याओं में अनुप्रयोग करने के लिए महत्वपूर्ण हैं। आधारभूत ज्यामिति के सूत्र हमें कई सरल आकृतियों के क्षेत्रफल की गणना करने में मदद करते हैं। हालाँकि, वे परिधि द्वारा सीमित क्षेत्रों के क्षेत्रफल की गणना के लिए अपर्याप्त हैं। इसके लिए हमें समाकलन गणित के कुछ अवधारणाओं की आवश्यकता होगी।

पिछले अध्याय में, हमने एक निश्चित समाकलन को एक योग की सीमा के रूप में और निश्चित समाकलन को समाकलन के मौलिक प्रमेय का उपयोग करके मूल्यांकन करने का अध्ययन किया है। यहाँ, इस अध्याय में, हम समाकलनों के एक विशेष अनुप्रयोग का अध्ययन करेंगे जिससे सरल परिपथों के अंतर, रेखाओं और वृत्त, पराबोलों और एलिप्स (केवल मानक रूप में) के चापों के क्षेत्रफल की गणना की जा सके। हम उपरोक्त आकृतियों द्वारा सीमित क्षेत्रों के क्षेत्रफल की गणना के साथ-साथ उनके अंतर की भी जांच करेंगे।

ए.एल. कॉशी (1789-1857)

8.2 सरल परिपथों के अंतर

पिछले अध्याय में, हमने निश्चित समाकलन को एक योग की सीमा के रूप में और समाकलन के मौलिक प्रमेय का उपयोग करके निश्चित समाकलन को मूल्यांकन करने का अध्ययन किया है। अब, हम उस क्षेत्रफल की गणना करने के आसान और सूक्ष्म तरीके पर विचार करते हैं जो परिपथ $y=f(x), x$-अक्ष और $x=a$ और $x=b$ की ओरदिनेट्स द्वारा सीमित है। आकृति 8.1 से हम यह सोच सकते हैं कि परिपथ के नीचे का क्षेत्रफल बहुत कम ऊंची कई लंबवत पट्टियों से बना है। एक अनिश्चित पट्टी की ऊँचाई $y$ और चौड़ाई $d x$ पर विचार करें, तो $d A$ (अवयवी पट्टी का क्षेत्रफल) $=y d x$, जहाँ, $y=f(x)$।

यह क्षेत्रफल अवयवी क्षेत्रफल कहलाता है जो $x$ के कुछ मान के बीच $a$ और $b$ के बीच निर्दिष्ट क्षेत्र के भीतर एक अनिश्चित स्थान पर स्थित है। हम $x$-अक्ष, $x=a, x=b$ की ओरदिनेट्स और परिपथ $y=f(x)$ के बीच क्षेत्र के कुल क्षेत्रफल A को PQRSP क्षेत्र के दृश्यानुसार छोटी पट्टियों के अवयवी क्षेत्रफलों के योग के रूप में विचार कर सकते हैं। प्रतीकात्मक रूप से, हम व्यक्त करते हैं

$$ \mathrm{A}=\int _{a}^{b} d \mathrm{~A}=\int _{a}^{b} y d x=\int _{a}^{b} f(x) d x $$

परिपथ $x=g(y), y$-अक्ष और रेखाओं $y=c$, $y=d$ द्वारा सीमित क्षेत्र का क्षेत्रफल $A$ द्वारा दिया गया है

$$ \mathrm{A}=\int _{c}^{d} x d y=\int _{c}^{d} g(y) d y $$

यहाँ, हम आकृति 8.2 में दिखाए गए अनुसार क्षैतिज पट्टियों पर विचार करते हैं

आकृति 8.2

टिप्पणी यदि विचाराधीन परिपथ की स्थिति $x$-अक्ष के नीचे है, तो $f(x)<0$ से $x=a$ से $x=b$ तक आकृति 8.3 में दिखाए गए अनुसार, परिपथ, $x$-अक्ष और $x=a, x=b$ की ओरदिनेट्स द्वारा सीमित क्षेत्रफल नकारात्मक होगा। हालाँकि, यह केवल क्षेत्रफल का संख्यात्मक मान ही विचाराधीन है। इसलिए, यदि क्षेत्रफल नकारात्मक है, तो हम उसके अपव्यूह मान को लेते हैं, अर्थात्, $|\int_a^{b} f(x) d x|$।

आकृति 8.3

आम तौर पर, परिपथ का कुछ हिस्सा $x$-अक्ष के ऊपर और कुछ हिस्सा $x$-अक्ष के नीचे हो सकता है जैसा कि आकृति 8.4 में दिखाया गया है। यहाँ, $A_1<0$ और $A_2>0$। इस प्रकार, परिपथ $y=f(x), x$-अक्ष और $x=a$ और $x=b$ की ओरदिनेट्स द्वारा सीमित क्षेत्रफल A $A=|A_1|+A_2$ द्वारा दिया गया है।

आकृति 8.4

उदाहरण 1 वृत्त $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ द्वारा समवृत क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान आकृति 8.5 से, दिए गए वृत्त द्वारा समवृत पूर्ण क्षेत्रफल $=4$ (क्षेत्र AOBA का क्षेत्रफल जो परिपथ, $x$-अक्ष और $x=0$ और $x=a$ की ओरदिनेट्स द्वारा सीमित है) [क्योंकि वृत्त $x$-अक्ष और $y$-अक्ष के दोनों पर सममित है]

$$ \begin{aligned} & =4 \int_0^{a} y d x \text{ (taking vertical strips) } \\ & =4 \int_0^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x \end{aligned} $$

$x^{2}+y^{2}=a^{2}$ देता है $\quad y= \pm \sqrt{a^{2}-x^{2}}$

आकृति 8.5

क्योंकि क्षेत्र AOBA पहले चतुर्थांश में स्थित है, $y$ को सकारात्मक मान लिया जाता है। समाकलन करने पर, हमें दिए गए वृत्त द्वारा समवृत पूर्ण क्षेत्रफल मिलता है

$ \begin{aligned} & =4[\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}]_0^{a} \\ & =4[(\frac{a}{2} \times 0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} 1)-0]=4(\frac{a^{2}}{2})(\frac{\pi}{2})=\pi a^{2} \end{aligned} $

वैकल्पिक रूप से, आकृति 8.6 में दिखाए गए क्षैतिज पट्टियों पर विचार करके, वृत्त द्वारा समवृत क्षेत्र का पूर्ण क्षेत्रफल

$ \begin{aligned} & =4 \int_0^{a} x d y=4 \int_0^{a} \sqrt{a^{2}-y^{2}} d y \text{(क्यों?)} \\ & =4[\frac{y}{2} \sqrt{a^{2}-y^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{y}{a}]_0^{a} \\ & =4[(\frac{a}{2} \times 0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} 1)-0] \\ & =4 \frac{a^{2}}{2} \frac{\pi}{2}=\pi a^{2} \end{aligned} $

आकृति 8.6

उदाहरण 2 एलिप्स $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ द्वारा समवृत क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान आकृति 8.7 से, एलिप्स द्वारा सीमित क्षेत्र $ABA^{\prime} B^{\prime} A$ का क्षेत्रफल

$=4(\begin{matrix} \text{ area of the region } A O B A \text{ in the first quadrant bounded } \\ \text{ by the curve, } x-\text{ axis and theordinates } x=0, x=a\end{matrix} )$

(क्योंकि एलिप्स $x$-अक्ष और $y$-अक्ष के दोनों पर सममित है)

$=4 \int_0^{a} y d x \quad$ (लंबवत पट्टियों का उपयोग करके)

अब $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ देता है $y= \pm \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}}$, लेकिन क्योंकि क्षेत्र AOBA पहले चतुर्थांश में स्थित है, $y$ को सकारात्मक मान लिया जाता है। इसलिए, आवश्यक क्षेत्रफल है

$ \begin{aligned} & =4 \int _{0}^{a} \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x \\ & =\frac{4 b}{a}\left[\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}\right] _{0}^{a} \text { (क्यों) } \\ & =\frac{4 b}{a}\left[\left(\frac{a}{2} \times 0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} 1\right)-0\right] \\ & =\frac{4 b}{a} \frac{a^{2}}{2} \frac{\pi}{2}=\pi a b \text { } \end{aligned} $

आकृति 8.7

वैकल्पिक रूप से, आकृति 8.8 में दिखाए गए क्षैतिज पट्टियों पर विचार करके, एलिप्स का क्षेत्रफल है

$$ \begin{aligned} & =4 \int_0^{b} x d y=4 \frac{a}{b} \int_0^{b} \sqrt{b^{2}-y^{2}} d y \text{ (Why?) } \\ & =\frac{4 a}{b}[\frac{y}{2} \sqrt{b^{2}-y^{2}}+\frac{b^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{y}{b}]_0^{b} \\ & =\frac{4 a}{b}[(\frac{b}{2} \times 0+\frac{b^{2}}{2} \sin ^{-1} 1)-0] \\ & =\frac{4 a}{b} \frac{b^{2}}{2} \frac{\pi}{2}=\pi a b \end{aligned} $$

आकृति 8.8

विविध उदाहरण

उदाहरण 3 रेखा $y=3 x+2$, $x$-अक्ष और $x=-1$ और $x=1$ की ओरदिनेट्स द्वारा सीमित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान आकृति 8.9 में दिखाए गए अनुसार, रेखा $y=3 x+2$ $x$-अक्ष पर $x=\frac{-2}{3}$ पर मिलती है और $x \in(-1, \frac{-2}{3})$ के लिए $x$-अक्ष के नीचे और $x \in(\frac{-2}{3}, 1)$ के लिए $x$-अक्ष के ऊपर अपना आलेख रखती है।

आवश्यक क्षेत्रफल $=$ क्षेत्र $ACBA+$ का क्षेत्रफल क्षेत्र ADEA का क्षेत्रफल

$ \begin{aligned} & =|\int _{-1}^{\frac{-2}{3}}(3 x+2) d x|+\int _{\frac{-2}{3}}^{1}(3 x+2) d x \\ & =|[\frac{3 x^{2}}{2}+2 x] _{-1}^{\frac{-2}{3}}|+[\frac{3 x^{2}}{2}+2 x] _{\frac{-2}{3}}^{1}=\frac{1}{6}+\frac{25}{6}=\frac{13}{3} \end{aligned} $

आकृति 8.9

उदाहरण 4 परिपथ $y=\cos x$ के बीच $x=0$ और $x=2 \pi$ के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान आकृति 8.10 से, आवश्यक क्षेत्रफल $=$ क्षेत्र $OABO+$ का क्षेत्रफल क्षेत्र DEFD का क्षेत्रफल।

आकृति 8.10

इस प्रकार, हमें आवश्यक क्षेत्रफल मिलता है

$ \begin{aligned} & =\int_ 0^{\frac{\pi}{2}} \cos x d x+|\int_ {\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} \cos x d x|+\int_ {\frac{3 \pi}{2}}^{2 \pi} \cos x d x \\ & =[\sin x]_ 0^{\frac{\pi}{2}}+|[\sin x]_ {\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}}|+[\sin x]_ {\frac{3 \pi}{2}}^{2 \pi} \\ & =1+2+1=4 \end{aligned} $

सारांश

परिपथ $y=f(x), x$-अक्ष और रेखाओं $x=a$ और $x=b(b>a)$ द्वारा सीमित क्षेत्र का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया गया है: क्षेत्रफल $=\int_a^{b} y d x=\int_a^{b} f(x) d x$। परिपथ $x=\phi(y), y$-अक्ष और रेखाओं $y=c, y=d$ द्वारा सीमित क्षेत्र का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया गया है: क्षेत्रफल $=\int_c^{d} x d y=\int_c^{d} \phi(y) d y$।

ऐतिहासिक टिप्पणी

समाकलन गणित की उत्पत्ति गणित के विकास की शुरुआती अवधि में वापस जाती है और इसे प्राचीन ग्रीक गणितज्ञों द्वारा विकसित किए गए शोषण विधि से जुड़ा है। इस विधि ने समतल आकृतियों, परतेजों और ठोस शरीरों के आयतन आदि की गणना करने के समस्याओं के समाधान में उत्पन्न हुआ। इस अर्थ में, शोषण विधि को समाकलन की एक शुरुआती विधि के रूप में माना जा सकता है। प्रारंभिक अवधि में शोषण विधि का सबसे बड़ा विकास ईयूडोक्स (440 ईसा पूर्व) और आर्किमिडीज (300 ईसा पूर्व) के कार्यों में प्राप्त हुआ।

गणित की गणित प्रणाली का प्रणालीगत दृष्टिकोण 17वीं शताब्दी में शुरू हुआ। 1665 में, न्यूटन ने अपने द्वारा विवरणित फ्लक्सियों की सिद्धांत के रूप में गणित पर काम शुरू किया और अपनी सिद्धांत का उपयोग परिपथ के किसी भी बिंदु पर स्पर्शी रेखा और वक्रता त्रिज्या की गणना के लिए किया। न्यूटन ने उल्टी फंक्शन के मौलिक अवधारणा को परिभाषित किया जिसे असीमित समाकलन या उल्टी ढाल कहा जाता है और उल्टी स्पर्शी रेखा की विधि के रूप में उपयोग किया।

1684-86 के दौरान, लिप्निज ने एक्टा एरुडिटोरम में एक लेख प्रकाशित किया जिसे उन्होंने कल्कुलस समुदात्ति कहा क्योंकि इसमें अनंत छोटे क्षेत्रफलों के एक संख्या के योग से संबंधित था, जिसका योग, उन्होंने ’ ’ ’ प्रतीक द्वारा इंगित किया। 1696 में, उन्होंने जे. बर्नौली द्वारा दिए गए सुझाव का पालन किया और इस लेख को कल्कुलस इंटीग्रली में बदल दिया। यह न्यूटन के उल्टी स्पर्शी रेखा की विधि से सम्बंधित था।

न्यूटन और लिप्निज दोनों ने बिगड़ी हुई और पूरी तरह से स्वतंत्र दिशा का अपना अपना अनुक्रम अपनाया जो आधारभूत रूप से भिन्न था। हालाँकि, उनके सिद्धांतों ने वास्तविक रूप से समान परिणाम प्राप्त किए। लिप्निज ने निश्चित समाकलन के अवधारणा का उपयोग किया और यह बहुत निश्चित है कि उन्होंने पहले ही अपरिभाषित ढाल और निश्चित समाकलन के बीच संबंध को स्पष्ट रूप से समझा।

अंततः, समाकलन गणित के मौलिक अवधारणाओं और सिद्धांतों का विकास 17वीं शताब्दी के अंत में पी.डी. फर्मात, आई. न्यूटन और जी. लिप्निज के कार्यों में हुआ। हालाँकि, सीमा के अवधारणा द्वारा इसका योग्य सिद्धांत केवल ए.एल. कॉशी के प्रारंभिक 19वीं शताब्दी के कार्यों में विकसित हुआ। अंत में, ली सॉफी के निम्नलिखित उद्धरण का भी उल्लेख करना उचित है:

“यह कहा जा सकता है कि अंतरक्षेपण भिन्नता और समाकलन की अवधारणाएँ जिनकी उत्पत्ति निश्चित रूप से आर्किमिडीज की ओर वापस जाती है, साइंस में केवल केप्लर, डिकार्ट, कैवलियरी, फर्मात और वॉलिस के अनुसंधानों द्वारा प्रवेश की गईं। अंतरक्षेपण और समाकलन को उल्टी कार्यों के रूप में जानने की खोज न्यूटन और लिप्निज को ज़िम्मेदार है।”