4.1 परिचय

विद्युत और चुंबकत्व के बारे में 2000 से अधिक साल पहले ही जाना जाता था। हालाँकि, केवल लगभग 200 साल पहले, अर्थात् 1820 में, यह पहचाना गया कि वे एक दूसरे से गहराई से जुड़े हैं। 1820 के ग्रीष्मकाल में एक प्रवक्ता के एक प्रदर्शन के दौरान, डेनिश भौतिकशास्त्री हान्स क्रिस्टियान ओरसेट ने देखा कि सीधी तार में एक धारा के प्रवाह के कारण आसपास की एक चुंबकीय कम्पास धुरी में एक दृश्यमान घुमाव होती है। उन्होंने इस घटना का अनुसरण किया। उन्होंने पाया कि धुरी का संरेखण तार के केंद्र के लिए किसी काल्पनिक 원 के स्तरीय है जिसका चालु आवेश तार है और उसका स्तर तार के प्रति लंबवत है। यह स्थिति आकृति 4.1(ए) में दर्शाई गई है। यह दृश्यमान होता है जब चालु आवेश बड़ा हो और धुरी तार के करीब बहुत कर जाए ताकि पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र को नजरअंदाज किया जा सके। चालु आवेश की दिशा उल्टी दिखाई देती है और धुरी की ओरदिशा उल्टी दिखाई देती है [आकृति 4.1(ब)]। चालु आवेश को बढ़ाने या धुरी को तार के करीब लाने पर घुमाव बढ़ती है। तार के आसपास आयोडीन पिस्सू के पात दिए गए आवेश के केंद्र के साथ समानांतर वृत्तों में व्यवस्थित हो जाते हैं [आकृति 4.1(स)]। ओरसेट ने निष्कर्ष निकाला कि चालु आवेश या धाराएँ आसपास के अंतराल में एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती हैं।

इसके बाद, तीव्र प्रयोगशाला के प्रयोग हुए। 1864 में, जेम्स मैक्सवेल ने विद्युत और चुंबकत्व के द्वारा पालन किए जाने वाले नियमों को एकीकृत करके और रचना करके, जिन्होंने फिर पहचाना कि प्रकाश इलेक्ट्रोमैग्नेटिक लहरें हैं, की ओर दिखाई। हर्ट्ज ने रेडियो लहरें खोजीं, और J.C. बोस और G. मार्कोनी ने $19^{\text {th }}$ शताब्दी के अंत तक उन्हें उत्पादित किया। $20^{\text {th }}$ शताब्दी में एक असाधारण वैज्ञानिक और प्रौद्योगिकी की प्रगति हुई। इसके कारण हमारी इलेक्ट्रोमैग्नेटिक अवधारणा की वृद्धि थी और इलेक्ट्रोमैग्नेटिक लहरों के उत्पादन, विस्तार, प्रसारण और परीक्षण के लिए उपकरणों का आविष्कार किया गया था।

आकृति 4.1 सीधे लंबे चालु आवेश धारा वाले तार के कारण उत्पन्न होने वाले चुंबकीय क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है। तार कागज के स्तर के प्रति लंबवत है। एक चालु आवेश धारा वाले तार के आसपास कम्पास धुरियों का एक वलय है। धुरी की ओरदिशा उस समय दिखाई देती है जब (ए) चालु आवेश कागज के स्तर से बाहर निकल रहा है, (ब) चालु आवेश कागज के स्तर में घुस रहा है। (स) तार के आसपास आयोडीन पिस्सू के पातों का व्यवस्था। धुरी के गहरे अंत उत्तरी ध्रुव का प्रतीक हैं। पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के प्रभाव को नजरअंदाज किया गया है।

हान्स क्रिस्टियान ओरसेट (1777–1851) डेनिश भौतिकशास्त्री और रसायनशास्त्री, कोपेनहागन में प्रोफेसर। उन्होंने देखा कि एक चालु आवेश धारा वाले तार के पास रखे जाने पर एक कम्पास धुरी में घुमाव होती है। यह खोज विद्युत और चुंबकीय घटनाओं के बीच एक संबंध के पहली अनुभवी सबूत का प्रतीक बनी।

इस अध्याय में, हम देखेंगे कि चुंबकीय क्षेत्र चालु आवेश गुणों पर बल कैसे डालता है, जैसे इलेक्ट्रॉन्स, प्रोटॉन्स और चालु आवेश धारा वाले तार। हम भी सीखेंगे कि धाराएँ कैसे चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती हैं। हम देखेंगे कि सायक्लॉट्रॉन में आवेशों को कितनी ऊँची ऊर्जा तक तेजी से तर्क किया जा सकता है। हम अध्ययन करेंगे कि चालु आवेश और वोल्टेज कैसे एक गैल्वानोमीटर द्वारा पता चलता है।

इस और अगले चुंबकत्व पर अध्ययन में, हम निम्नलिखित सम्मेलन को अपनाते हैं: एक चालु आवेश या एक क्षेत्र (विद्युत या चुंबकीय) कागज के स्तर से बाहर निकल रहा है उसे एक बिंदु $(\odot)$ द्वारा दर्शाया जाता है। एक चालु आवेश या एक क्षेत्र कागज के स्तर में घुस रहा है उसे एक क्रॉस $(\otimes)^{*}$ द्वारा दर्शाया जाता है। आकृति 4.1(ए) और 4.1(ब) इन दोनों स्थितियों के अनुरूप हैं।

4.2 चुंबकीय बल

4.2.1 स्रोत और क्षेत्र

हेन्द्रिक एंटोन लॉरेन्ट्ज (1853 – 1928) डच सैद्धांतिक भौतिकशास्त्री, लीडेन में प्रोफेसर। उन्होंने विद्युत, चुंबकत्व और यानीकी के बीच संबंध का अन्वेषण किया। प्रकाश के उत्सर्जकों (जीमैन प्रभाव) पर चुंबकीय क्षेत्रों के दृश्यमान प्रभाव को स्पष्ट करने के लिए, उन्होंने पदार्थ के एटॉम में विद्युत आवेशों के अस्तित्व का अनुमान लगाया, जिसके लिए उन्हें 1902 में नोबेल पुरस्कार मिला। उन्होंने कुछ जटिल गणितीय तर्कों के माध्यम से एक समीकरणों का सेट निकाला (जिसे उनके नाम पर लॉरेन्ट्ज रूपांतरण समीकरण कहा जाता है), लेकिन उन्होंने यह नहीं जाना कि इन समीकरणों के पीछे एक नए स्थान और समय की अवधारणा का आधार है।

हम चुंबकीय क्षेत्र $\mathbf{B}$ की अवधारणा पर आगे बढ़ने से पहले, चौथे अध्याय में हमारे द्वारा विद्युत क्षेत्र $\mathbf{E}$ के बारे में जो सीखा गया है, उसका सारांश देंगे। हमने देखा है कि दो आवेशों के बीच अंतःसंबंध को दो चरणों में माना जा सकता है। आवेश $\mathrm{Q}$, क्षेत्र का स्रोत, एक विद्युत क्षेत्र $\mathbf{E}$ उत्पन्न करता है, जहाँ

• एक बिंदु आरोही तीर की शीर्ष की तरह आपके पास दिखाई देता है, एक क्रॉस आरोही तीर की पंखुड़ी पृष्ठभूमि की तरह आप से दूर जाने वाली है।

$$ \begin{equation*} \mathbf{E}=\mathrm{Q} \hat{\mathbf{r}} /\left(4 \pi \varepsilon_{0}\right) r^{2} \tag{4.1} \end{equation*} $$

जहाँ $\hat{\mathbf{r}}$ $\mathbf{r}$ के साथ एक इकाई आयतन है, और क्षेत्र $\mathbf{E}$ एक सदिश क्षेत्र है। एक आवेश $q$ इस क्षेत्र के साथ अंतःसंबंध करता है और एक बल $\mathbf{F}$ का अनुभव करता है जो द्वारा दी गई है

$$ \begin{equation*} \mathbf{F}=q \mathbf{E}=q Q \hat{\mathbf{r}} /\left(4 \pi \varepsilon_{0}\right) r^{2} \tag{4.2} \end{equation*} $$

अध्याय 1 में जोर दिया गया था, क्षेत्र $\mathbf{E}$ केवल एक कल्पना नहीं है बल्कि एक भौतिक भूमिका रखता है। यह ऊर्जा और आवेश को संचारित कर सकता है और यह तत्काल स्थापित नहीं होता बल्कि प्रसारित होने में परिपक्व समय लेता है। क्षेत्र की अवधारणा को विशेष रूप से फैराडे द्वारा बढ़ावा दिया गया था और मैक्सवेल द्वारा विद्युत और चुंबकत्व के एकीकरण में उसमें शामिल किया गया था। इसके अतिरिक्त, इसके प्रत्येक बिंदु पर निर्भर होने के अतिरिक्त, यह समय के साथ भी बदल सकता है, अर्थात् समय के एक फलन हो सकता है। इस अध्याय के चर्चाओं में, हम मान लेंगे कि क्षेत्र समय के साथ बदलते नहीं हैं।

एक विशेष बिंदु पर क्षेत्र एक या अधिक आवेशों के कारण हो सकता है। अगर अधिक आवेश हैं तो क्षेत्र सदिश रूप से जोड़ते हैं। आपने अध्याय 1 में पहले से ही सीखा है कि यह सबपोजिशन के सिद्धांत कहलाता है। एक बार क्षेत्र ज्ञात हो जाने पर, एक परीक्षण आवेश पर बल इस समीकरण $\mathbf{B}(\mathbf{r})$ द्वारा दिया गया है।

जितने स्थिर आवेश विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करते हैं, उतनी ही धाराएँ या चालु आवेश गुण उत्पन्न करते हैं (अतिरिक्त) एक चुंबकीय क्षेत्र, $q$, फिर एक सदिश क्षेत्र। इसके विद्युत क्षेत्र के साथ समान कई बुनियादी गुण हैं। यह अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर (और अतिरिक्त समय के निर्भर हो सकता है) परिभाषित है। प्रयोगशाला में, यह पाया जाता है कि यह सबपोजिशन के सिद्धांत का पालन करता है: कई स्रोतों का चुंबकीय क्षेत्र प्रत्येक व्यक्तिगत स्रोत के चुंबकीय क्षेत्र के सदिश योग है।

4.2.2 चुंबकीय क्षेत्र, लॉरेन्ट्ज बल

चलिए, मानते हैं कि विद्युत क्षेत्र $\mathbf{v}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\mathbf{r}$ के साथ एक बिंदु आवेश $t$ ($\mathbf{E}(\mathbf{r})$ की गति $\mathbf{B}(\mathbf{r})$ के साथ चल रहा है और एक दिए गए समय $q$ पर $q, \mathbf{v}$ पर स्थित है) में है। इन दोनों के कारण एक विद्युत आवेश $\mathbf{B}$ पर बल इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$ \begin{equation*} \mathbf{F}=q[\mathbf{E}(\mathbf{r})+\mathbf{v} \times \mathbf{B}(\mathbf{r})] \equiv \mathbf{F_\text {electric }}+\mathbf{F_\text {magnetic }} \tag{4.3} \end{equation*} $$

यह बल हेन्द्रिक एंटोन लॉरेन्ट्ज द्वारा पहले दिया गया था, जिन्होंने एम्पीर और अन्यों के विस्तृत प्रयोगों के आधार पर यह दिया था। इसे लॉरेन्ट्ज बल कहा जाता है। आपने पहले से ही विद्युत क्षेत्र के कारण बल का विस्तार से अध्ययन किया है। अगर हम चुंबकीय क्षेत्र के साथ अंतःसंबंध पर ध्यान दें, तो हमें निम्नलिखित विशेषताएँ पाई जाती हैं।

(एक) यह $q[\mathbf{v} \times \mathbf{B}]$ और $\mathbf{v}$ (गुणों के आवेश, गति और चुंबकीय क्षेत्र) पर निर्भर करता है। एक नकारात्मक आवेश पर बल एक धनात्मक आवेश पर बल के विपरीत होता है।

(दो) चुंबकीय बल $\theta$ गति और चुंबकीय क्षेत्र के सदिश योग को शामिल करता है। सदिश योग बनाता है कि चुंबकीय कारण के बल की उपस्थिति में गति और चुंबकीय क्षेत्र प्रतिसामान या विपरीत प्रतिसामान होने पर शून्य (शून्य हो जाता है) हो। बल एक (बाजू की दिशा में) लंबवत दिशा में कार्य करता है जो दोनों के पास गति और चुंबकीय क्षेत्र है। $\mathbf{B}$ की दिशा स्क्रॉल नियम या सदिश (या क्रॉस) योग के लिए दायी हाथ नियम द्वारा दी जाती है जैसा कि आकृति 4.2 में उल्लेखित किया गया है।

आकृति 4.2 एक गुणों वाले आवेश पर कार्य करने वाले चुंबकीय बल की दिशा। (ए) $q$ की गति $-q$ और $|\mathbf{v}|=0$ के साथ एक धनात्मक आवेश पर बल दायी हाथ नियम द्वारा दी गई है। (ब) चालु आवेश वाले एक आवेश $q, \mathbf{F}$ चुंबकीय क्षेत्र के साथ विपरीत दिशा में $\mathbf{v}$ के साथ घुमाव कर देता है।

(तीसरा) चुंबकीय बल शून्य है अगर आवेश चल रहा नहीं है (जैसा कि $\mathbf{F}=q[\mathbf{v} \times \mathbf{B}]=q v B \sin \theta \hat{\mathbf{n}}$ )। केवल एक चालु आवेश चुंबकीय बल का अनुभव करता है।

चुंबकीय बल के लिए अभिव्यक्ति हमें चुंबकीय क्षेत्र की इकाई को परिभाषित करने में मदद करती है, अगर $\theta$ और $\mathbf{v}$, $\mathbf{B}$ के लिए सभी एक ही हैं, जहाँ $B$ $(1 \mathrm{C})$ और $\mathbf{B}$ के बीच कोण है [आकृति 4.2 (ए) देखें]। $1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ के लिए एक इकाई आवेश $[B]=[F / q v]$, $\mathbf{B}$ के प्रति लंबवत गति $\left(=10^{-4}\right.$, एक न्यूटन बल के बराबर है $3.6 \times 10^{-5} \mathrm{~T}$ की चुंबकीय क्षेत्र की परिकल्पना की जाती है।

$A$ के आधार पर, हमें $l$ $n$ $n l A$ $I$ $\mathbf{v_d}$ $\mathbf{B}$ $q$ $n q \mathbf{v_\mathrm{d}}$ $\mathbf{j}$ $\left|\left(n q \mathbf{v_\mathrm{d}}\right)\right| A$ $I$ $l$ $l$ $I$ $I$ $\mathbf{j}$ $\boldsymbol{l}$ $\mathrm{d} \boldsymbol{l}{\mathrm{j}}$ $200 \mathrm{~g}$ $1.5 \mathrm{~m}$ $2 \mathrm{~A}$ $I l B$ $\mathrm{m} / l$ $4 \times 10^{-5} \mathrm{~T}$ $y$ $x$ $\mathbf{v}$ $x$ $\mathbf{B}$ $y$ $\mathbf{v} \times \mathbf{B}$ $z$ $-Z$ $+z$ $\mathbf{B}$ $\mathbf{B}$ $\omega$ $v$ $=\omega r$ $v$ $v$ $T=2 \pi / \omega$ $\equiv 1 / v$ $v{| \mid}$ $p$ $9 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}$ $1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$ $3 \times 10^{7} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ $6 \times 10^{-4} \mathrm{~T}$ $\mathrm{keV} .\left(1 \mathrm{eV}=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{~J}\right)$ $\mu_{0} / 4 \pi$ $I \mathrm{~d} \boldsymbol{l}$ $d \mathbf{B}$ $r$ $\otimes$ $\mathrm{d} l \times \mathbf{r}$ $\mathrm{d} \boldsymbol{l}$ $\mathbf{r}$ $\mu_{0}$ $I \mathrm{~d} \boldsymbol{l}$ $I \mathrm{~d} \boldsymbol{l}$ $\mathbf{r}$ $I \mathrm{~d} \boldsymbol{l}$ $\varepsilon_{0}$ $\mu_{0}$ $c$ $\mu_{0} \varepsilon_{0}$ $\varepsilon_{0}$ $\mu_{0}$ $\mu_{0}$ $4 \pi \times 10^{-7}$ $\Delta \boldsymbol{l}=\Delta x \hat{\mathbf{i}}$ $I=10$ $y$ $0.5 \mathrm{~m} . \Delta x=1 \mathrm{~cm}$ $|\mathrm{d} \mathbf{B}|=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{I \mathrm{~d} l \sin \theta}{r^{2}}$ $\mathrm{d} l=\Delta x=10^{-2} \mathrm{~m}, I=10 \mathrm{~A}, \quad r=0.5 \mathrm{~m}=y, \mu_{0} / 4 \pi=10^{-7} \frac{\mathrm{Tm}}{\mathrm{A}}$ $\theta=90^{\circ} ; \sin \theta=1$ $|\mathrm{d} \mathbf{B}|=\frac{10^{-7} \times 10 \times 10^{-2}}{25 \times 10^{-2}}=4 \times 10^{-8} \mathrm{~T}$ $+z$ $\hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}} ; \hat{\mathbf{j}} \times \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{i}} ; \hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}}$ $R$ $d \mathbf{B}$ $d \boldsymbol{l}$ $r^{2}=x^{2}+R^{2}$ $\boldsymbol{l}$ $y-z$ $\mathbf{r}$ $\mathrm{d} \boldsymbol{l}$ $\mathrm{P}$ $x-y$ $|d \boldsymbol{l} \times \mathbf{r}|=r d l$ $\mathrm{dB}$ $\mathrm{d} \boldsymbol{l}$ $\mathbf{r}$ $x$ $\mathrm{d} \mathbf{B_x}$ $x$ $\mathrm{d} \mathbf{B_\perp}$ $x$ $\mathrm{d} \mathbf{B_\perp}$ $\mathrm{d} \boldsymbol{l}$ $\boldsymbol{l}$ $x$ $x$ $\mathrm{d} B_{x}=\mathrm{d} B \cos \theta$ $\mathrm{d} l$ $2 \pi R$ $\mathrm{P}$ $x=0$ $12 \mathrm{~A}$ $2.0 \mathrm{~cm}$ $\mathbf{B}$ $\mathbf{B}$ $\mathrm{d} \mathbf{l}$ $\mathbf{r}$ $\mathrm{d} \boldsymbol{l} \times \mathbf{r}=0$ $\mid$ $\mid$ $\mathrm{d} \boldsymbol{l} \times \mathbf{r}$ $\mathbf{B}$ $1.9 \times 10^{-4} \mathrm{~T}$ $\mathbf{B}$ $10 \mathrm{~cm}$ $1 \mathrm{~A}$ $R=10 \mathrm{~cm}=0.1 \mathrm{~m}$ $N=100$ $B=\frac{\mu_{0} N I}{2 R}=\frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 10^{2} \times 1}{2 \times 10^{-1}}=2 \pi \times 10^{-4}=6.28 \times 10^{-4} \mathrm{~T}$ $\mathrm{B} {t} \mathrm{~d} l=\mathbf{B} \cdot \mathrm{d} l$ $I$ $\mathrm{C}$ $\oint \mathbf{B} \cdot d \boldsymbol{l}$ $I$ $\mathbf{B}$ $\mathrm{B}$ $\mathbf{B}$ $\mathbf{B}$ $r$ $r$ $I$ $I$ $r<a$ $r>a$ $r>a$ $L=2 \pi r$ $I{e}=$ $=I$ $B(2 \pi r)=\mu_{0} I$ $I_{e}$ $I$ $I_{e}=I \frac{\pi r^{2}}{\pi a^{2}}=\frac{I r^{2}}{a^{2}}$ $B(2 \pi r)=\mu_{0} \frac{I r^{2}}{a^{2}}$ $B=\left(\frac{\mu {0} I}{2 \pi a^{2}}\right) r$ $B \propto r \quad(r<a)$ $\mathbf{B}$ $r$ $\mathrm{P}$ $\mathrm{Q}$ $B$ $L=h$ $n$ $n h$ $I{e}=I(n h)$ $I$ $0.5 \mathrm{~m}$ $1 \mathrm{~cm}$ $5 \mathrm{~A}$ $n=\frac{500}{0.5}=1000$ $/ \mathrm{m}$ $l=0.5 \mathrm{~m}$ $r=0.01 \mathrm{~m}$ $l / a=50$ $l»a$ $\mathrm{b}$ $d$ $I_{\mathrm{a}}$ $I_{\mathrm{b}}$ $a$ $\mathbf{B_\mathrm{a}}$ $\mathrm{b}$ $I_{a}$ $I_{b}$ $\mathbf{B_\mathrm{a}}$ $a$ $I_{\mathrm{b}}$ $\mathbf{B_\mathrm{a}}$ $\mathbf{F}{\mathrm{ba}}$ $L$ $b$ $a$ $\mathbf{F\mathrm{ab}}$ $L$ $F_{\mathrm{ba}}$ $\mathrm{b}$ $f_{\mathrm{ba}}$ $\mathbf{F}{\mathrm{ba}}$ $2 \times 10^{-7}$ $1 \mathrm{~A}$ $1 \mathrm{~s}$ $3.0 \times 10^{-5} \mathrm{~T}$ $1 \mathrm{~A}$ $F=I l \times B$ $F=I l B \sin \theta$ $f=F / l=I B \sin \theta$ $=1 \times 3 \times 10^{-5}=3 \times 10^{-5} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-1}$ $2 \times 10^{-7} \mathrm{Nm}^{-1}$ $\theta=0^{\circ}$ $f=0$ $\mathbf{B}$ $\mathrm{m}$ $\tau$ $\mathrm{AD}$ $\mathrm{BC}$ $\mathrm{AB}$ $\mathbf{F_1}$ $\mathbf{F_2}$ $\mathbf{F_2}$ $\mathbf{F_1}$ $\mathbf{F_2}$ $A=a b$ $\theta$ $\theta=\pi / 2$ $\mathrm{AB}$ $\mathrm{CD}$ $\mathbf{F\mathbf{1}}$ $\mathbf{F_2}$ $\mathrm{AD}$ $\mathrm{ABCD}$ $\theta$ $\mathbf{F_1}$ $\mathbf{F_2}$ $\mathrm{AB}$ $\mathrm{CD}$ $\theta \rightarrow 0$ $\mathbf{p}{\mathrm{e}}$ $\mathbf{E}$ $[\mathrm{A}]\left[\mathrm{L}^{2}\right]$ $\mathrm{Am}^{2}$ $\tau$ $\mathbf{m}$ $\mathbf{B}$ $\mathbf{m}$ $\mathbf{m}$ $\mathbf{B}$ $N$ $10 \mathrm{~cm}$ $2 \mathrm{~T}$ $90^{\circ}$ $90^{\circ}$ $0.1 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{2}$ $N=100 ; I=3.2 \mathrm{~A}$ $R=0.1 \mathrm{~m}$ $m=N I A=N I \pi r^{2}=100 \times 3.2 \times 3.14 \times 10^{-2}=10 \mathrm{~A} \mathrm{~m}^{2}$ $\tau=|\mathbf{m} \times \mathbf{B}|$ $=m B \sin \theta$ $\theta=0$ $\tau{i}=0$ $\theta=\pi / 2$ $90^{\circ}$ $\tau_{f}=m B=10 \times 2=20 \mathrm{~N} \mathrm{~m}$ $g \frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} t}=m B \sin \theta$ $\mathscr{g}$ $\omega \mathrm{d} \omega=m B \sin \theta \mathrm{d} \theta$ $\theta=0$ $\theta=\pi / 2$ $g \int_{0}^{\omega f} \omega \mathrm{d} \omega=m B \int_{0}^{\pi / 2} \sin \theta \mathrm{d} \theta$ $g \frac{\omega_{f}^{2}}{2}=-m B \cos \theta {0} ^{\pi / 2}=m B$ $\omega{f}=\left(\frac{2 m B}{g}\right)^{1 / 2}=\left(\frac{2 \times 20}{10^{-1}}\right)^{1 / 2}=20 \mathrm{~s}^{-1}$ $\tau$ $\tau=I \mathbf{A} \times \mathbf{B}$ $\mathbf{A}$ $\tau$ $\mathbf{B}$ $\mathbf{A}$ $x$ $x > >$ $R^{2}$ $A=\pi R^{2}$ $\mathbf{m}$ $I A$ $\boldsymbol{m}=I \mathbf{A}$ $x$ $\mathbf{p} \rightarrow \mathbf{m}$ $\mu_{0} \rightarrow 1 / \varepsilon_{0}$ $\mathbf{B}$ $x$ $x > > R$ $\sin \theta=1$ $\mathrm{S}{\mathrm{p}}$ $k \phi$ $N I A B$ $\phi$ $k$ $\phi$ $\mu \mathrm{A}$ $r{s}$ $r_{s}$ $R_{c}$ $N$ $R$ $N \rightarrow 2 N$ $N \rightarrow 2 N$ $R \rightarrow 2 R$ $R_{G}=60.00 \Omega$ $r_{s}=0.02 \Omega$ $q$ $\mathbf{v}$ $\mathbf{B}$ $\mathbf{E}$ $\mathbf{F}=q(\mathbf{v} \times \mathbf{B}+\mathbf{E})$ $q(\mathbf{v} \times \mathbf{B})$ $\mathbf{v}$ $l$ $I$ $\mathbf{F}$ $\mathbf{B}$ $\mathbf{F}=I \mathbf{1} \times \mathbf{B}$ $|\mathbf{1}|=l$ $\mathbf{1}$ $\mathbf{B}$ $q$ $\mathbf{B}$ $d \mathbf{B}$ $I$ $\mathrm{P}$ $r$ $\mathrm{P}$ $R$ $I$ $x$ $\mathrm{S}$ $\oint_{C} \mathbf{B} \cdot d \mathbf{l}=\mu_{0} I$ $I$ $\mathrm{S}$ $I$ $\mathbf{B}$ $L$ $B L=\mu_{0} I_{e}$ $I_{e}$ $R$ $I$ $B=\frac{\mu_{0} I}{2 \pi R}$ $B$ $I$ $B=\mu_{0} n I$ $n$ $N$ $r$ $I$ $N$ $A$ $\mathbf{m}$ $\mathbf{m}=\mathrm{N} I \mathbf{A}$ $\mathbf{m}$ $\mathbf{m}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{B}$ $\mathbf{F}$ $F=0$ $\tau=\mathbf{m} \times \mathbf{B}$ $k \phi=N I A B$ $\phi$ $k$ $r_{s}$ $\mu_{0}$ $\left[\mathrm{MLT}^{-2} \mathrm{~A}^{-2}\right]$ $\mathrm{T} \mathrm{m} \mathrm{A}^{-1}$ $4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{~T} \mathrm{~m} \mathrm{~A}^{-1}$ $\mathbf{B}$ $\left[\mathrm{M} \mathrm{T}^{-2} \mathrm{~A}^{-1}\right]$ $\mathrm{T}$ $\mathbf{m}$ $\left[\mathrm{L}^{2} \mathrm{~A}\right]$ $\mathrm{A} \mathrm{m}^{2}$ $k$ $\left[\mathrm{M} \mathrm{L}^{2} \mathrm{~T}^{-2}\right]$ $\mathrm{N} \mathrm{m} \mathrm{rad}^{-1}$ $\mathrm{MCG}$ $\mathbf{F}=q(\mathbf{v} \times \mathbf{B}+\mathbf{E})$ $\mathbf{v}$